Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 1
Um bloco de massa capaz de deslizar com atrito desprezível sobre um trilho por uma mola de masa desprezível e constante elástica , inicialmente relaxada. Uma bolinha de chiclete de massa , lançada em direção ao bloco com velocidade horizontal , atinge-o no instante e fica grudada nele (Figura). Ache a expressão do deslocamento do sistema para .
Passo 1
Vamos começar com o mais simples. Pela lei de Hooke, a força que a mola faz sobre o conjunto é:
Já que essa é a única força agindo, podemos escrever o seguinte usando a segunda lei de Newton:
Onde é a massa total do conjunto, já que o chiclete fica grudado no bloco. Vamos fazer e reorganizar um pouco:
Essa é a equação de um oscilador harmônico! Vamos lembrar da forma geral dessa EDO:
Que tem como solução geral:
E comparando com a nossa equação, sabemos que o é:
Passo 2
Beleza, agora falta determinar os valores de e . Para fazer isso vamos precisar de condições iniciais.
Começando pela posição. Se a gente chamar de a posição inicial do bloco, podemos dizer que:
Então:
Não faz sentido ter , porque aí seria sempre nula! Mas como , podemos dizer que:
Ótimo, então por enquanto temos o seguinte:
Passo 3
Já usamos a condição para a posição inicial, agora vamos usar para a velocidade inicial.
Podemos calcular o valor da velocidade inicial usando conservação de momento linear:
Inicialmente só o chiclete de massa se movia, e com velocidade . Logo depois da colisão, o conjunto se move junto com velocidade inicial :
Ok, então a nossa segunda condição inicial é:
Passo 4
Agora vamos aplicar essa condição inicial. Primeiro temos que derivar para encontrar a velocidade em função do tempo:
E no instante inicial (), temos:
Então:
E com isso podemos encontrar o valor de :
E então nossa função é:
Mas , então:
Resposta
Para o deslocamento do sistema é .