Um bloco de massa M capaz de deslizar com atrito desprezível sobre um trilho por uma mola de masa desprezível e constante elástica k , inicialmente relaxada. Uma bolinha de chiclete de massa m , lançada em direção ao bloco com velocidade horizontal v , atinge-o no instante t = 0 e fica grudada nele (Figura). Ache a expressão do deslocamento do sistema para t0 .

Para t0 o deslocamento do sistema é x t = v ω m M + m sen ⁡ ω t .

Enunciado

Vamos começar com o mais simples. Pela lei de Hooke, a força que a mola faz sobre o conjunto é:

Já que essa é a única força agindo, podemos escrever o seguinte usando a segunda lei de Newton:

Onde é a massa total do conjunto, já que o chiclete fica grudado no bloco. Vamos fazer e reorganizar um pouco:

Essa é a equação de um oscilador harmônico! Vamos lembrar da forma geral dessa EDO:

Que tem como solução geral:

E comparando com a nossa equação, sabemos que o é:

Beleza, agora falta determinar os valores de e . Para fazer isso vamos precisar de condições iniciais.

Começando pela posição. Se a gente chamar de a posição inicial do bloco, podemos dizer que:

Então:

Não faz sentido ter , porque aí seria sempre nula! Mas como , podemos dizer que:

Ótimo, então por enquanto temos o seguinte:

Já usamos a condição para a posição inicial, agora vamos usar para a velocidade inicial.

Podemos calcular o valor da velocidade inicial usando conservação de momento linear:

Inicialmente só o chiclete de massa se movia, e com velocidade . Logo depois da colisão, o conjunto se move junto com velocidade inicial :

Ok, então a nossa segunda condição inicial é:

Agora vamos aplicar essa condição inicial. Primeiro temos que derivar para encontrar a velocidade em função do tempo:

E no instante inicial (), temos:

Então:

E com isso podemos encontrar o valor de :

E então nossa função é:

Mas , então:

Para o deslocamento do sistema é .