Enunciado

Mostre que se um fóton de energia E for espalhado por um elétron livre em repouso, a energia cinética máxima do elétron espalhado será

K m a x = E 2 E + m c 2 / 2

Passo 1

Queremos achar a energia máxima que um elétron pode adquirir num espalhamento Compton. Por conservação de energia, a energia do fóton incidente deve ser igual a soma da energia do fóton espalhado com a do elétron:

E i n c = E e s p + K

Assim,

K = E i n c - E e s p = h c λ - h c λ '

Mas sabemos que

λ ' = λ + Δ λ

Portanto,

K = h c   1 λ - 1 λ + Δ λ = h c λ ⋅ Δ λ λ + Δ λ = E ⋅ Δ λ λ + Δ λ

Vou usar E i n c = E daqui pra frente...

Passo 2

Sabemos também que

Δ λ = h m c 1 - cos ⁡ ϕ

Além disso,

λ = h c E

Assim,

K = E ⋅ h m c 1 - cos ⁡ ϕ h c E + h m c 1 - cos ⁡ ϕ

Passo 3

A energia cinética será máxima para ϕ = 180 ° , de modo que 1 - cos ⁡ ϕ = 2 :

K m a x = E ⋅ 2 h m c h c E + 2 h m c

Dividindo tanto o numerador como o denominador por 2 h / m c :

K m a x = E ⋅ 1 m c 2 2 E + 1 = E ⋅ E E + m c 2 / 2

Portanto,

K m a x = E 2 E + m c 2 / 2

Resposta

Demonstração.

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