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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 48

Mostre que a mudança na densidade ρ de um material isotrópico devido a um aumento na temperatura Δ T é dada por Δ ρ = - β ρ Δ T .

Passo 1

Podemos resolver esse problema determinando a derivada da densidade em relação à temperatura. Como a densidade está diretamente ligada às grandezas de comprimento, área ou volume, vamos expressar a densidade em termos do volume do material:

ρ = m V

e então vamos relacionar a equação da densidade com a equação de variação do volume por uma variação de temperatura:

Δ V = β V Δ T

Passo 2

Podemos escrever a última equação na forma diferencial:

d V = β V d T

Passando d T para a direita:

d V d T = β V

Passo 3

E por fim, derivamos a densidade em relação ao volume:

d ρ d V = - m V 2

E utilizamos a regra da cadeia para determinarmos a derivada da densidade com relação à temperatura:

d ρ d T = d ρ d V d V d T = - m V 2 β V = - m β V

Passando d T para a direita:

d ρ = - m β V d T

Substituindo m / V pela densidade:

d ρ = - ρ β d T

E escrevendo os termos diferenciais como diferenças entre valores não-infinitesimais:

Δ ρ = - β ρ Δ T

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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