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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.5 - Ex. 41

Qual e a probabilidade de que um eletron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios r e r + ∆ r ( a ) se r = 0,500 a e ∆ r = 0,010 a ; ( b ) se r = 1,00 a e ∆ r = 0,01 a , onde a é o raio de Bohr? (sugestão: ∆ r é suficientemente pequeno para que a densidade de probabilidade radial seja considerada constante entre r e r + ∆ r .)

Passo 1

Podemos usar a equação da probabilidade:

p r = P r d r

Onde P ( r ) é a densidade de probabilidade radial para o átomo de hidrogênio no estado fundamental:

P r = 4 r 2 a 3 e - 2 r a

Ficando com a seguinte equação:

p r = 4 r 2 a 3 e - 2 r a d r

Como a questão sugere para considerarmos a densidade de probabilidade constante entre r e r + ∆ r , podemos substituir d r por ∆ r , ficamos com:

p r = 4 r 2 a 3 e - 2 r a ∆ r

Passo 2

Substituindo o valor dado de ∆ r = 0,010 a e de r = 0,500 a da letra (a), ficamos com:

p r = 4 ( 0 , 500 a ) 2 a 3 e - 2 ( 0,500 a   ) a 0,010 a

Simplificando:

p r = 4 0,500 2 e - 1 0,010 = 3,68 × 10 - 3 = 0,0037

Passo 3

Para a letra (b), muda apenas o r , sendo ele r = 1,00 a . A equação para esse caso fica:

p r = 4 ( 1,0 0 a ) 2 a 3 e - 2 ( 1 , 00 a   ) a 0,010 a

Simplificando:

p r = 4 0,500 2 e - 1 0,010 = 5,41 × 10 - 3 = 0,00 54

Resposta

a     p r = 0,0037

b     p r = 0,00 54

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