Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 23

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

Então teremos:

Onde:

Que pode ser reescrito como:

Os autovalores podem ser dados por:

Passo 2

Para encontrar o vetor próprio de autovetor correspondente a , precisamos resolver . Use a eliminação de Gauss para encontrar o autovetor (este é um sistema homogêneo de equações)

Temos que a primeira e a última coluna são iguais, conseguimos montar um autovetor do tipo correspondente ao autovetor:

Passo 3

Quando usamos o autovalor , nós precisamos aplicar na fórmula:

Usaremos eliminação de Gauss:

Conseguimos montar um autovetor do tipo correspondente ao autovetor:

Passo 4

Quando usamos o autovalor , nós precisamos aplicar na fórmula:

Usaremos eliminação de Gauss:

Conseguimos montar um autovetor do tipo correspondente ao autovetor:

Resposta

Para .

Para

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que d e tA=0 e queA x=b tem solução. Mostre que ( b ,y )=0 , em que y é qualquer solução deA * y = 0 . Verifique se essa afirmação é verdadeira para o conjunto de equações no Exemplo 2.

Suponha que, para uma matriz dada A ,existe um vetor não nulo x tal que A x=0 . Mostre que existe, também, um vetor não nulo y tal que A * y=0 .

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1

Vamosmostrar, nesse problema, que os autovalores de uma matriz autoadjunta A sãoreais. Seja x um autovetor associado ao autovalor λ. (a) Mostre que ( A x ,x )=( x ,A x ) . Sugestão: Veja o Problema 26

Prove que λ=0 será um autovalor de A se, e somente se, A for singular.