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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 104

Neste problema, você deduzirá uma expressão para a energia potencial de um segmento de uma corda que transmite uma onda progressiva. A energia potencial de um segmento é igual ao trabalho realizado pela tração ao distender a corda, que vale Δ U = F T ( Δ l - Δ x ) , onde F T é a tração, Δ l é comprimento do segmento distentido e Δ x é o seu comprimento original. (a) Use a expansão binomial para mostrar que Δ l - Δ x ≈ 1 2 Δ y Δ x 2 Δ x e que, portanto, Δ U ≈ 1 2 F T Δ y Δ x 2 Δ x . (b) Calcule ∂ y ∂ x da equação da onda y x , t = A s e n ( k x - ω t ) e mostre que Δ U ≈ F T k 2 A 2 cos 2 ⁡ ( k x - ω t ) Δ x .

Δ l = Δ x 2 + Δ y 2 = Δ x 1 + Δ y Δ x 2 1 2

Passo 1

  1. Bora que essa é cascudíssima! Se Δ y ≪ Δ x , Δ y Δ x ≪ 1 :

    2. Δ l = Δ x 2 + Δ y 2 = Δ x 1 + Δ y Δ x 2 1 2

    Aí, pela aproximação de Bernoulli, 1 + x n ≈ ( 1 + n x ) , para x ≪ 1 .

    Δ l = Δ x 1 + 1 2 Δ y Δ x 2

    Δ l - Δ x = Δ x 1 + 1 2 Δ y Δ x 2 - Δ x

    Δ l - Δ x = 1 2 Δ y Δ x 2 Δ x

    A energia potencial de um pedacinho do fio é:

    Δ U = F T Δ l - Δ x

    Δ U = 1 2 F T Δ y Δ x 2 Δ x

    Passo 2

  2. Agora vamos derivar a equação da onda parcialmente em relação a x :

y x , t = A s e n k x - ω t

∂ y ∂ x = k A c o s k x - ω t

Se a gente fizer uma aproximação e considerar Δ y Δ x = ∂ y ∂ x , podemos substituir na expressão da letra (a).

Δ U = 1 2 F T Δ y Δ x 2 Δ x = 1 2 F T ∂ y ∂ x 2 Δ x

Δ U = 1 2 F T k A c o s k x - ω t 2 Δ x

Δ U = 1 2 F T A 2 k 2 Δ x c o s 2 k x - ω t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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