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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 105

Neste problema, você deve deduzir a expressão para a potência média desenvolvida por uma força de excitação sobre um oscilador forçado.

  1. Mostre que a potência instantânea desenvolvida pela força de excitação é dada por P = F v = - A ω F 0 cos ⁡ ω t s e n ( ω t - δ ) .
  2. Use a identidade s e n θ 1 - θ 2 = s e n θ 1 c o s θ 2 - c o s θ 1 s e n θ 2 para mostrar que a equação da parte (a) pode ser escrita como P = A ω F 0 s e n δ cos 2 ⁡ ( ω t ) - A ω F 0 c o s δ c o s ( ω t ) s e n ( ω t ) .
  3. Mostre que o valor médio do segundo termo do resultado da parte (b), sobre um ou mais períodos, é zero, e que, portanto, P m é d i a = 1 2 A ω F 0 s e n δ .
  4. Considerando a equação 14-56 para t g δ , construa um triangulo retângulo no qual o lado oposto ao ângulo δ é b ω   e o lado adjacente é m ( ω 0 2 - ω 2 ) , e use este triângulo para mostrar que:

    5. s e n δ = b ω m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2 = b ω A F 0

  5. Use o resultado da parte (d) para eliminar ω A do resultado da parte (c), de forma a poder escrever a potência média desenvolvida como:

P m é d i a = 1 2 F 0 2 b s e n 2 δ = 1 2 b ω 2 F 0 2 m 2 ω 0 2 - ω 2 + b 2 ω 2

Passo 1

Então, galera, essa parece muito difícil a princípio, mas é só a gente ir seguindo as dicas que vai dar bom! Bora lá então!

  1. A potência média é dada por:

    2. P = F v c o s θ = F v c o s 0

    P = F v

    Mas a força é função do tempo, de forma que:

    F = F 0 cos ⁡ ω t

    E a posição é escrita em função do tempo como:

    x = A c o s ω t - δ

    Derivando essa relação,

    v = - A ω s e n ω t - δ

    Assim, multiplicando pra achar a potencia:

    P = F 0 cos ⁡ ω t - A ω s e n ω t - δ

    P = - A ω F 0 cos ⁡ ω t s e n ( ω t - δ )

    Passo 2

  2. Agora é só usar aquela relação para s e n ( ω t - δ ) .

    3. s e n ω t - δ = s e n ω t c o s δ - c o s ⁡ ( ω t ) s e n δ

    P = - A ω F 0 cos ⁡ ω t s e n ( ω t - δ )

    P = - A ω F 0 cos ⁡ ω t s e n ω t c o s δ - cos ⁡ ω t s e n δ

    P = A ω F 0 s e n δ cos 2 ⁡ ( ω t ) - A ω F 0 c o s δ c o s ( ω t ) s e n ( ω t )

    Passo 3

  3. A segunda parcela da expressão é A ω F 0 c o s δ c o s ( ω t ) s e n ( ω t ) . Vamos mostrar que o valor médio de cos ⁡ ω t s e n ( ω t ) é zero.

    4. m é d i o ( c o s x s e n x ) = 1 2 π ∫ 0 2 π s e n x c o s x d x = 1 2 π 1 2 s e n 2 θ 0 2 π

    m é d i o c o s x s e n x = 1 4 π s e n 2 2 π - s e n 2 0 = 0

    Portanto, a potencia média só depende do primeiro termo. Ele é dado por A ω F 0 s e n δ cos 2 ⁡ ω t . Então vamos descobrir o valor médio de cos 2 ⁡ x .

    m é d i o cos 2 ⁡ x = 1 2 π ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

    m é d i o cos 2 ⁡ x = 1 2 π 1 2 ∫ 0 2 π 1 + c o s 2 θ d θ

    m é d i o cos 2 ⁡ x = 1 4 π θ 0 2 π + s e n 2 θ 2 0 2 π

    m é d i o cos 2 ⁡ x = 1 4 π 2 π + 0 = 1 2

    Então a potencia média vai ser dada por:

    P m é d i a = 1 2 A ω s e n δ

    Passo 4

  4. Olha aí o triangulo que ele mandou construir:

    5. Nele,

    s e n δ = b ω m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2

    Pela equação 14-55 da teoria a gente consegue reduzir essa expressão:

    A = F 0 m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2

    E então:

    s e n δ = b ω A F 0

    Passo 5

  5. Nós encontramos aí em cima:

s e n δ = b ω A F 0

ω = F 0 b A s e n δ

Substituindo na expressão da potência média:

P = F 0 2 2 b s e n 2 δ

Mas do item d:

s e n δ = b ω m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2

E então:

1 2 b ω 2 F 0 2 m 2 ω 0 2 - ω 2 + b 2 ω 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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