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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 106

Neste problema, você deve usar o resultado do problema 105 para deduzir a Equação 14-51. Na ressonância, o denominador da fração entre colchetes no problema 105(e) é b 2 ω 0 2 e P m é d i a tem seu valor máximo. Para uma ressonância estreita, a variação de ω no numerador desta equação pode ser desprezada. Então, a potência desenvolvida terá a metade de seu valor máximo quando os valores de ω forem tais que o denominador seja igual a 2 b 2 ω 0 2 .

  1. Mostre que, neste caso, ω satisfaz m 2 ω - ω 0 2 ω + ω 0 2 ≅ b 2 ω 0 2 .
  2. Usano a aproximação ω + ω 0 = 2 ω 0 , mostre que ω - ω 0 = ± b / 2 m .
  3. Expresse b em termos de Q .
  4. Combine os resultados das partes (b) e (c) para mostrar que há dois valores de ω para os quais a potencia desenvolvida tem a metade do valor na ressonância, dados por

ω 1 = ω 0 - ω 0 2 Q

e

ω 2 = ω 0 - ω 0 2 Q

Logo, ω 2 - ω 1 = Δ ω = ω 0 / Q , o que é equivalente à equação 14-51.

Passo 1

  1. Lembra da equação 14-56? Então, vamos usar o que ele falou no enunciado sobre a potência desenvolvida, que será metade do valor máximo. O denominador da equação é:

    2. D = m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2

    Queremos que ele seja igual a 2 b 2 ω 0 2 . Então é só substituir!

    m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2 = 2 b 2 ω 0 2

    Ele diz que a ressonância é “estreita”. Isso quer dizer que Δ ω = ω - ω 0 é pequeno, quase nulo. Nesse caso, ω ≈ ω 0 , e então:

    m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 0 2 = 2 b 2 ω 0 2

    m 2 ω 0 2 - ω 2 2 ≈ b 2 ω 0 2

    A gente pode fatorar essa diferença de quadrados!

    m 2 ω 0 - ω 2 ω 0 + ω 2 ≈ b 2 ω 0 2

    E pronto, chegamos na equação que queríamos!

    Passo 2

  2. Como ω + ω 0 ≈ 2 ω 0 :

    3. m 2 ω 0 - ω 2 2 ω 0 2 ≈ b 2 ω 0 2

    ω 0 - ω 2 = b 2 4 m 2

    Tirando o quadrado a gente chega no que queremos, só não pode esquecer do ± na equação!

    ω 0 - ω = ± b 2 m

    Passo 3

  3. A gente sabe lá da teoria que a definição de Q é:

    4. Q = ω 0 m b

    Arrumando:

    b = ω 0 m Q

    Essa foi molezinha!

    Passo 4

  4. Juntando o resultado da letra (b) e da letra (c), a gente encontra:

ω 0 - ω = ± ω 0 m Q 2 m

ω = ω 0 ± ω 0 2 Q

Então olha aí os dois resultados possíveis:

ω + = ω 0 + ω 0 2 Q

e

ω - = ω 0 - ω 0 2 Q

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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