Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 86
Um oscilador amortecido perde por cento de sua energia a cada ciclo? (a) Quantos ciclos decorrem até que metade de sua energia seja dissipada? (b) Qual é o seu fator ? (c) Se a frequência natural é , qual é a largura da curva de ressonância quando o oscilador é excitado por uma força senoidal?
Passo 1
(a) Vamos supor que a energia inicial do oscilador era . Precisamos de uma fórmula que dê a energia final após ciclos, assim a gente consegue achar em que ciclo a energia vai estar metade da inicial.
A energia num ciclo inicial é . Já a energia num ciclo posterior, ou seja, , vai ser a energia de menos a perda de energia do ciclo. Para dois ciclos consecutivos, uma perda de (como o enunciado diz) leva à seguinte expressão:
Esse termo representa a perda de energia em relação a energia do ciclo anterior. Continuando:
Esse termo representa a porcentagem de energia que fica a cada ciclo.
Se continuássemos por mais um ciclo, em , teríamos que a energia do novo ciclo seria a porcentagem que fica, representada por , em relação ao ciclo anterior :
Substituindo nossa expressão de
Seguindo o mesmo raciocínio, a energia de um ciclo seria
Podemos generalizar essa fórmula para encontrar a energia de uma oscilação em ciclo qualquer em comparação com a energia inicial :
Passo 2
E queremos encontrar o valor de para o qual :
Vamos aplicar o logaritmo nos dois lados da equação:
Então decorrem cerca de ciclos completos.
Passo 3
(b) Então, ele deu um oscilador que perde da sua energia em cada ciclo e pede o fator de qualidade desse amortecedor.
Podemos calcular o fator a partir da perda percentual de energia por ciclo:
Essa fórmula é válida para sistemas de baixo amortecimento, o que se aplica a esse caso, já que temos uma perda de apenas de energia por ciclo, algo que satisfaz:
Essa relação mostra que a energia perdida é muito menor que 1, então temos um baixo amortecimento mesmo.
Assim podemos substituir nossos dados na fórmula para achar :
Passo 4
(c) Para calcular a largura da curva de ressonância temos que calcular a seguinte fórmula:
Onde é a largura que queremos.
Mas ele nos deu a frequência natural, então precisamos usar que
Substituindo:
E substituindo nossos dados e do item anterior
Resposta
(a) ciclos completos.
(b) .
(c) .