Enunciado

Um objeto se desloca no plano xy submetido à ação de uma força conservativa descrita pela função energia potencial dada por U x ,   y = α ( 1 x 2 + 1 y 2 ) , onde α é uma constante positiva.

Deduza uma expressão para a força em termos dos vetores unitário i ^ e j ^ .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Essa é uma questão bem direto, onde vamos aplicar a equação:

F → = - ∂ U ∂ x i ^ + ∂ U ∂ y j ^ + ∂ U ∂ z k ^

Repara que para achar a força vamos derivar cada U em cada componente.

Bora lá!

Passo 2

O enunciado forneceu,

U x , y = α ( 1 x 2 + 1 y 2 )

Derivando em relação a x

d d x 1 x 2 = - 2 x 3

Derivando em relação a y

d d y = 1 y 2 = - 2 y 3

Passo 3

Então, fazendo:

F → = - ∂ U ∂ x i ^ - ∂ U ∂ y j ^

Já que U não tem dependência em z .

∂ U ∂ x = - 2 α x 3

E

∂ U ∂ y = - 2 α y 3

Então:

F → = - α - 2 x 3 i ^ - 2 y 3 j ^ = 2 α i ^ x 3 + j ^ y 3

Resposta

F → = 2 α i ^ x 3 + j ^ y 3

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