Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco ( m = 2,00   k g ), uma mola ( k = 10,0   N / m ) e uma força de amortecimento ( F = - b v ). Inicialmente, o bloco oscila com uma amplitude de 25,0   c m ; devido ao amortecimento, a amplitude cai a três quartos do valor inicial após quatro oscilações completas. (a) Qual é o valor de b ? (b) Qual é a energia “perdida” durante as quatro oscilações?

Passo 1

Lembra da fórmula da amplitude em um movimento harmônico amortecido? Quando temos uma força de amortecimento a amplitude deixa de ser constante, e passa a obedecer essa fórmula aqui:

A t = A 0 e - b t 2 m

Vamos de chamar de s o instante em que a amplitude cai para três quartos do valor inicial. Isso quer dizer que:

A s = 3 4 A 0 = A 0 e - b s 2 m

Ou seja:

3 4 A 0 = A 0 e - b s 2 m

E então:

e - b s 2 m = 3 4

E tirando o logaritmo natural dos dois lados:

- b s 2 m = ln ⁡ 3 4

O problema agora é encontrar o valor de s , já que m = 2,00   k g .

Passo 2

O enunciado diz que essa redução da amplitude acontece após quatro oscilações completas. Como o tempo de uma oscilação completa é o período T , podemos dizer que:

s = 4 T

Substituindo com a fórmula do período:

s = 4 2 π m k = 8 π 2,00 10,0 = 11,23

Agora voltando à equação de antes:

- b s 2 m = ln ⁡ 3 4

- b = ln ⁡ 3 4 2 m s

- b = - 0,287 2 2,00 11,23 = - 0,102   k g / s

Ou seja:

b = 0,102   k g / s

Passo 3

Na letra (b) queremos saber qual foi a energia perdida nesse processo de amortecimento.

Bom, uma das formas de calcular a energia total do sistema é:

E = 1 2 k x m 2

Onde x m é a amplitude de oscilação.

Então agora é só calcular os valores antes e depois:

E o = 1 2 10 0,25 2 = 0,313   J

E f = 1 2 10 3 4 x m 2 = 1 2 10 0,1875 2 = 0,176   J

E a perda de energia vai ser:

Δ E = E f - E 0 = 0,176 - 0,313 = - 0,137   J

Esse sinal negativo só nos indica que essa energia foi perdida, certo?? Como a pergunta é quanto de energia perdemos, nós temos que perdemos 0,137   J . Beleza??

Pronto!

Resposta

(a) b = 0,102   k g / s

(b) Perdeu-se 0,137   J .

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