Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.Problemas Adicionais - Ex. 104
Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco (), uma mola () e uma força de amortecimento (). Inicialmente, o bloco oscila com uma amplitude de ; devido ao amortecimento, a amplitude cai a três quartos do valor inicial após quatro oscilações completas. (a) Qual é o valor de ? (b) Qual é a energia “perdida” durante as quatro oscilações?
Passo 1
Lembra da fórmula da amplitude em um movimento harmônico amortecido? Quando temos uma força de amortecimento a amplitude deixa de ser constante, e passa a obedecer essa fórmula aqui:
Vamos de chamar de o instante em que a amplitude cai para três quartos do valor inicial. Isso quer dizer que:
Ou seja:
E então:
E tirando o logaritmo natural dos dois lados:
O problema agora é encontrar o valor de , já que .
Passo 2
O enunciado diz que essa redução da amplitude acontece após quatro oscilações completas. Como o tempo de uma oscilação completa é o período , podemos dizer que:
Substituindo com a fórmula do período:
Agora voltando à equação de antes:
Ou seja:
Passo 3
Na letra (b) queremos saber qual foi a energia perdida nesse processo de amortecimento.
Bom, uma das formas de calcular a energia total do sistema é:
Onde é a amplitude de oscilação.
Então agora é só calcular os valores antes e depois:
E a perda de energia vai ser:
Esse sinal negativo só nos indica que essa energia foi perdida, certo?? Como a pergunta é quanto de energia perdemos, nós temos que perdemos . Beleza??
Pronto!
Resposta
(a)
(b) Perdeu-se .