Exercícios de Movimento Harmônico Amortecido - Lista de Exercícios Resolvida

Um avião está voando em trajetória retilínea a uma altitude constante. De repente, ele é atingido por uma rajada de vento que faz força sobre sua parte frontal. O nariz do avião começa a oscilar por um dado período de tempo, assustando os passageiros, mas aos poucos a oscilação cessa e o avião volta a sua posição de equilíbrio. A situação apresentada representa:

1. Um regime de oscilações não amortecidas, o avião oscila em movimento harmônico simples.
2. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime subcrítico.
3. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime supercrítico.
4. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime crítico
5. O avião entrou em ressonância com o vento.

Na Fig. 15-15 o bloco possui uma massa de e a constante elástica é . A força de amortecimento é dada por , onde . O bloco é puxado para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial. (b) Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo?

Um oscilador levemente amortecido tem seu parâmetro de amortecimento muito menor que sua frequência natural Neste caso a energia mecânica média armazenada no oscilador num dado instante de tempo é dada por . A vida média destas oscilações é definida como o intervalo de tempo no qual a energia média se reduz de um fator . O número de oscilações que a partícula realiza neste intervalo pode ser expresso por:

Um corpo preso na extremidade de uma mola e imerso em um fluido viscoso, executa um movimento harmônico amortecido no regime subcrítico, conforme a equação horária:

Sabendo-se que o corpo possui velocidade nula no instante , determine:

1. A frequência natural de oscilação (frequência na ausência de força viscosa) do sistema massa-mola
2. A fase inicial do movimento.
3. O tempo necessário pra que a amplitude do movimento se reduza à metade do valor inicial.

Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma massa a ser medida. Observa-se que para a primeira balança, o prato não oscila, mas a balança demora um certo tempo para marcar o valor correto depois que a massa é posta no prato. Nota-se também que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse valor possa ser lido. Assinale a alternativa INCORRETA:

1. Na primeira balança observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.
2. Na segunda balança observa-se um regime de amortecimento subcrítico.
3. Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.
4. Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança poderia oscilar por tempo indeterminado.
5. O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do sistema massa+prato+mola.

Um corpo é pendurado de uma mola, colocado em vibração vertical e imerso em um béquer com óleo. Suponha que o corpo tenha massa , que a mola tenha constante de força e

1. Quanto tempo leva pra amplitude cair pra metade de seu valor inicial?
2. Quanto tempo leva pra energia mecânica cair pra metade de seu valor inicial?
3. Demonstre que, de maneira geral, a taxa à qual a amplitude diminui em um oscilador harmônico amortecido é metade da taxa à qual a energia mecânica diminui.

Considere um tubo em formato de “U”, cujos “braços” são dois cilindros verticais de seções transversais circulares de áreas e . Ambas extremidades são mantidas abertas. No interior deste tubo coloca-se uma quantidade de líquido cuja massa total e densidade são e , respectivamente. Este líquido é inicialmente deslocado para fora do equilíbrio , gerando-se um desnível na altura do líquido nos dois braços do “U” mas de forma tal que as superfícies livres sejam mantidas horizontais. A partir de então, o líquido inicia oscilações livres, sob ação da gravidade . Suponha que a amplitude de oscilação seja pequena comparada com o comprimento do tubo e que as superfícies livres do líquido se movem sempre nas seções puramente verticais do tubo.

1. Desprezando os efeitos da viscosidade, calcule o período de oscilações do líquido para o caso particular em que .
2. Ainda desprezando os efeitos da viscosidade, generalize o resultado do item anterior para o caso genérico .
3. Discuta de maneira qualitativa e em palavras, pelo menos 2 alterações diferentes que devem ocorrer neste movimento oscilatório ao incluirmos os efeitos da viscosidade. Seja conciso em sua resposta.

Um avião está voando em trajetória retilínea a uma altitude constante. De repente, ele é atingido por uma rajada de vento que faz força sobre sua parte frontal. O nariz do avião começa a oscilar por um dado período de tempo, assustando os passageiros, mas aos poucos a oscilação cessa e o avião volta a sua posição de equilíbrio. A situação apresentada representa:

1. Um regime de oscilações não amortecidas, o avião oscila em movimento harmônico simples.
2. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime subcrítico.
3. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime supercrítico.
4. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime crítico
5. O avião entrou em ressonância com o vento.

Um oscilador levemente amortecido tem seu parâmetro de amortecimento muito menor que sua frequência natural Neste caso a energia mecânica média armazenada no oscilador num dado instante de tempo é dada por . A vida média destas oscilações é definida como o intervalo de tempo no qual a energia média se reduz de um fator . O número de oscilações que a partícula realiza neste intervalo pode ser expresso por:

Um circuito elétrico constituído por um resistor R, um capacitor C e um indutor L, está ligado e possui corrente elétrica I. Sabendo que a equação diferencial que representa este sistema é dada por onde V(t) é a diferença de potencial aplicada ao circuito e que varia com o tempo. Determine qual afirmativa abaixo é correta:

(a) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico forçado, cuja frequência angular da solução homogênea é dada por .

(b) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico amortecido, cuja frequência angular da solução homogênea é dada por .

(c) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico forçado, cuja frequência angular da equação homogênea é dada por .

(d) Esta equação não corresponde à de um oscilador harmônico dado que o resistor, capacitor e indutor não oscilam.

(e) Esta equação não corresponde à de um oscilador harmônico dado que a diferença de potencial não oscila.

Um objeto de massa m que pode se mover ao longo do eixo é sujeito a uma força do tipo . No instante de tempo inicial, ele se encontra na posição de equilíbrio em , e recebe um impulso de modo que sua velocidade inicial é > 0. O gráfico que melhor representa como a posição deste objeto varia om o tempo é:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Um pêndulo simples, em seu laboratório de física, é composto por um fio de comprimento e uma bolinha (pontual) de massa presa à sua ponta. Para iniciar o balanço da bolinha, você coloca um ventilador próximo à ela, soprando uma corrente horizontal de ar de velocidade escalar , resultando em uma força (como mostrado abaixo). Enquanto o ventilador está ligado, o sistema fica em equilíbrio, com um ângulo com a vertical, com .

Obtenha o módulo do vetor para valores gerais de , em termos do ângulo , de e de .

Você desliga o ventilador e deixa que o pêndulo oscile. Supondo que a força de arrasto do ar seja da forma , sendo uma constante e a velocidade da bolinha, deduza a equação diferencial exata que descreve o deslocamento angular do pêndulo para , justificando de forma sucinta os termos usados na equação.

Considere o regime de pequenas oscilações, onde. Dadas as condições iniciais do problema, obtenha a função exata para .

Determine a constante de decaimento deste pêndulo.

Quanto tempo levará para a amplitude de oscilação do pêndulo chegar a um valor ?

Nota: dê suas respostas em termos dos parâmetros do problema:

Um oscilador harmônico amortecido não forçado opera no regime crítico. Supondo que no instante de tempo , a posição inicial do oscilador é e a velocidade inicial é , qual solução representa a posição da massa em função do tempo:

a)

b)

c)

d)

e) Nenhuma das demais alternativas

Seja a equação diferencial que descreve um oscilador harmônico amortecido. Considere as situações: , e . Esses regimes correspondem, respectivamente, aos casos:

Escolha uma opção:

crítico, supercrítico e subcrítico.

crítico, subcrítico e supercrítico.

supercrítico, subcrítico e crítico.

subcrítico, subcrítico e crítico.

subcrítico, crítico e supercrítico.

subcrítico, supercrítico e crítico.

A figura abaixo mostra a posição da massa de três osciladores harmônicos amortecidos. Os tipos de amortecimento que melhor descrevem os resultados do gráfico são:

1. (1) crítico, (2) subcrítico, e (3) supercrítico.
2. (1) crítico, (2) supercrítico, e (3) subcrítico.
3. (1) supercrítico, (2) subcrítico, e (3) crítico.
4. (1) subcrítico, (2) crítico, e (3) supercrítico.
5. (1) supercrítico, (2) crítico, e (3) subcrítico.

A energia média de um oscilador levemente amortecido cai à metade em . Sua energia média após terá se reduzido pelo fator:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Um oscilador harmônico amortecido unidimensional é formado por uma massa , uma mola de constante elástica , e um amortecedor com constante de amortecimento . No instante a massa está localizada em e possui velocidade . Qual gráfico melhor representa a massa em função do tempo?

1. V
2. III
3. IV
4. II
5. I

Considere um sistema massa-mola amortecido de massa m = 1 kg e constante de mola k = 1 N/m, cujo movimento é ilustrado pela figura abaixo:

A respeito desse sistema é CORRETO afirmar:

(a) A frequência angular de oscilação é

(b) A constante de amortecimento é .

(c) A constante de amortecimento é .

(d) O sistema tinha inicialmente (t = 0) velocidade positiva.

(e) O sistema tinha inicialmente (t = 0) velocidade negativa.

Dada uma massa m apoiada sobre um pistão pneumático com um amortecimento r, queremos ajustar a constante de mola k atuando sobre o sistema de forma que, diante de uma perturbação externa, ele tenha um retorno no menor tempo possível.

A equação de movimento do corpo na ausência de forças externas é dada por:

a) Qual o valor de k que faz o sistema voltar ao equillíbrio no menor tempo possível? Neste caso, qual a forma geral da solução da equação diferencial acima? Justifique sua resposta.

b) Se em t = 0 o corpo, inicialmente em equilíbrio, recebe uma pancada, transferindo um impulso vertical p, qual a função y(t) que representa a evolução da posição do corpo?

c) Se uma vibração externa é aplicada com frequência Ω, e uma força , qual a expressão da amplitude de oscilação A(Ω)? Para que valor de Ω a amplitude de oscilação é máxima?

Uma partícula de massa m obedece à lei horária para a posição conforme a figura, onde x é dado em metros e t em segundos.

Indique a afirmação abaixo que é compatível com a figura:

(a) O sistema corresponde a amortecimento subcrítico, com e .

(b) O sistema corresponde a amortecimento supercrítico, com e .

(c) O sistema corresponde a amortecimento subcrítico, com e .

(d) O sistema corresponde a amortecimento crítico, com .

(e) O sistema corresponde a amortecimento supercrítico, com e .

Um corpo é pendurado de uma mola, colocado em vibração vertical e imerso em um béquer com óleo. Suponha que o corpo tenha massa , que a mola tenha constante de força e

1. Quanto tempo leva pra amplitude cair pra metade de seu valor inicial?
2. Quanto tempo leva pra energia mecânica cair pra metade de seu valor inicial?
3. Demonstre que, de maneira geral, a taxa à qual a amplitude diminui em um oscilador harmônico amortecido é metade da taxa à qual a energia mecânica diminui.

Considere um sistema massa-mola, composto por uma mola de constante e uma massa , sujeito a força de amortecimento proporcional à velocidade dada por . O sistema está no regime crítico de amortecimento.

1. Determine. Em função de e , o valor da constante
2. Sabendo que o sistema parte da posição com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo em termos de e
3. Se trocarmos a massa do sistema por qual será o regime de oscilação do sistema? Justifique.
4. Sabendo que a com a nova massa o sistema parte da posição com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo em termos de e
5. Se trocarmos agora a massa do sistema por uma massa qual será o novo regime de oscilação do sistema? Justifique.

Um objeto de massa m está preso a uma mola ideal de constante elástica e se move no eixo . Ele também está sujeito a uma força de amortecimento proporcional à velocidade , onde é uma constante positiva. Sobre este sistema, são feitas as seguintes afirmativas:

I. Se , há oscilações.

II. Se , o regime de amortecimento é supercrítico.

III. Como se trata de um oscilador amortecido é sempre decrescente, independente das condições iniciais.

São verdadeiras:

(a) Somente I e II.

(b) Somente II.

(c) Somente II e III.

(d) Somente I.

(e) Somente III.

(f) Somente I e III.

(g) Todas.

(h) Nenhuma.

Quais das seguintes afirmativas estão corretas?

I. A frequência num movimento harmônico simples é independente da amplitude.

II. O movimento de oscilação de um pêndulo é em geral harmônico simples

III. Na ressonância o deslocamento no regime estacionário de um oscilador forçado está em fase com a força externa , resultando em uma absorção máxima de energia.

IV. Um sistema amortecido atinge o equilíbrio mais rapidamente quando o fator de amortecimento estiver próximo de seu valor crítico

1. II e III
2. I e II
3. III e IV
4. I, II, III e IV
5. I e IV

A suspensão de um carro de (vazio) foi otimizada para amortecimento crítico quando está com lotação máxima ( passageiros de cada). Quando as pessoas saem do carro, ele se eleva em . Qual é o coeficiente de amortecimento do conjunto de amortecedores ligados à suspensão do carro?

Um disco é ligado à massa é mergulhado em um fluido que exerce uma força dissipativa, tal e como mostra a figura. A força restauradora elástica é e a força dissipativa é , com o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio.

A tabela abaixo mostra os valores usados em vários experimentos com diferentes molas, massas e fluidos.

Em que experimento o tempo no qual a energia mecânica diminuí até um quarto do seu valor inicial é maior?

Experimento 1.

Experimento .

Experimento .

Experimento .

Experimento .

Um objeto de massa é preso a uma mola de constante elástica . O sistema, que está sujeito à ação de uma força de amortecimento , é colocado para oscilar.

Sabendo que esse oscilador harmônico amortecido tem fator de qualidade , e sua equação de movimento é dada por , determine:

1. A solução da equação de movimento sabendo que e que a constante de fase é
2. Qual é o tempo necessário para que a amplitude do movimento se reduza à metade do seu valor?
3. Esboce um gráfico do valor médio da energia como função do tempo para uma massa . Deixe claro as unidades adotadas

Se necessário use

No caso de um oscilador sujeito a um amortecimento proporcional à velocidade:

a) nenhuma das respostas é correta;

b) o deslocamento decai linearmente com o tempo;

c) a velocidade é uma função senoidal do tempo;

d) a frequência é uma função decrescente do tempo;

e) a energia mecânica é constante;

A frequência angular de um oscilador amortecido no regime sub-crítico é . Caso não houvesse o amortecimento, esse valor seria Qual o valor da constante de amortecimento , caso ? Considere conhecida a massa do sistema .

Escolha uma opção:

Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação diferencial

Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativa como solução e encontrar quais valores de que realmente a tornam solução da equação diferencial (1). Fazendo a substituição de em (1), vemos que os valores de que tornam a função tentativa solução de (1) são:

Os valores de levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicando presnete em e seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolha a alternativa correta:

a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ou igual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real real pode ser expressa em termos de funções periódicas, como senos e cossenos.

b) Na situação onde assume valores complexos, só a parte real de tem siginificado físico.

c) O caso onde corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemos expressar como uma função periódica.

d) Se a frequência natural do sistema for muito maior que o fator dissipativo , a amplitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.

e) Quando , o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbrio do que quando .

Um objeto massivo é preso a uma mola tal que a sua função movimento pode ser obtida como solução da equação diferencial , onde é uma constante real positiva. Sabe-se que, em , ele se encontra na posição de equilíbrio e sofre um impulso tal que sua velocidade inicial é . É correto afirmar que:

Escolha uma opção:

A posição deste objeto oscila em torno da posição de equilíbrio com amplitude inicial e decrescente com o tempo.

O maior deslocamento alcançado por este objeto é .

Este sistema representa um oscilador harmônico amortecido; logo a solução é sempre decrescente (em módulo).

Este sistema representa um oscilador harmônico amortecido e, como o objeto já está inicialmente na posição de equilíbrio, ele não se move.

O maior deslocamento alcançado por este objeto é .

O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico amortecido.

Usando as informações do gráfico faça uma estimativa dos valores da frequência de oscilação e do coeficiente de amortecimento .

(Dica: se necessário amplie a figura)

Mostre que para um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força do tipo , oscilações ocorrerão somente quando for satisfeita a condição .

O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico amortecido.

Escreva a equação para o oscilador amortecido.

Considerando o oscilador harmônico amortecido em regime subcrítico, qual o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação?

1. Constante
2. Exponencial decrescente
3. Linear decrescente
4. Exponencial crescente
5. Linear crescente

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

c. Qual a constante de mola?

Uma bola de Natal ( esfera oca) de massa e raio é pendurada em um ramo de árvore por um pequeno fio(comprimento desprezível) preso à superfície da esfera(vide figura) e oscila sob a ação da gravidade.

1. Escreva a equação diferencial do movimento para o ângulo que o eixo da bola de Natal faz com a vertical( Vide figura abaixo).
2. Se a bola é deslocada por um ângulo pequeno ( e solto a seguir, calcule a frequência natural de oscilação do sistema.

Considere agora que o atrito do ar gere um torque proporcional à velocidade angular e a área da bola: onde é uma constante ( considere e despreze outros tipos de atrito). Nesse caso:

3. Calcule o fator de qualidade do sistema em termos dos dados do problema.
4. Calcule, em função dos outros dados do problema, o raio máximo da bola para que o regime de amortecimento seja subcrítico.

Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo do fio:

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

d. Calcule a velocidade máxima.

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

e. Calcule a aceleração máxima.

No oscilador harmônico amortecido pode-se dizer que a frequência de oscilação é, em relação à frequência do oscilador livre ,

(a) menor porque o módulo da aceleração média é reduzida pela força dissipativa.

(b) maior porque a amplitude do movimento é reduzida devido à dissipação de energia.

(c) igual porque os efeitos sobre a aceleração e sobre a amplitude se cancelam.

(d) maior porque a força dissipativa é oposta à velocidade.

(e) nenhuma das anteriores.

Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma massa a ser medida. Observa-se que para a primeira balança, o prato não oscila, mas a balança demora um certo tempo para marcar o valor correto depois que a massa é posta no prato. Nota-se também que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse valor possa ser lido. Assinale a alternativa INCORRETA:

(a) Na primeira balança observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.

(b) Na segunda balança observa-se um regime de amortecimento subcrítico.

(c) Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.

(d) Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança poderia oscilar por tempo indeterminado.

(e) O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do sistema massa+prato+mola.

O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico amortecido.

Determine a frequência natural do MHS.

O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico amortecido.

Determine o período de oscilação do oscilador amortecido.

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

a. A constante de fase () do movimento.

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

b. Escreva a equação do deslocamento em função do tempo.

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

f. Quando exatamente o corpo estará na posição de equilíbrio mas movendo-se para a direita?

A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:

g. Onde exatamente se encontra o corpo no momento correspondente ao ponto C?

Uma mola ideal com constante elástica de 15,0 N/m está pendurada no teto. Um corpo de massa 500 g é preso à extremidade livre da mola e baixado lentamente até a posição de equilíbrio. Depois, ele é puxado 6,0 cm para baixo e abandonado, passando a executar um movimento harmônico amortecido pela resistência do ar. Qual a constante de tempo se após 30 oscilações a amplitude é igual a 3,0 cm?

Dois osciladores de mesma frequência natural se movimentam num regime de amortecimento sub-crítico. A massa e o coeficiente de amortecimento do primeiro oscilador são dados por e , e do segundo oscilador por e , respectivamente, com e . Sabendo-se que uma força externa periódica é aplicada a cada um desses osciladores, de forma que tenha um valor inicial diferente de e depois é lentamente modificada até que o sistema apresente um comportamento ressonante, qual das seguintes afirmações sobre a amplitude de ressonância é correta:

(a) O pico de ressonância do primeiro oscilador é maior e mais estreito que o do segundo oscilador.

(b) O pico de ressonância do primeiro oscilador é menor e mais largo que o do segundo oscilador.

(c) O pico de ressonância do primeiro oscilador é maior e mais largo que o do segundo oscilador.

(d) O pico de ressonância do primeiro oscilador tem as mesmas características que o do segundo oscilador.

(e) O pico de ressonância do primeiro oscilador é menor e mais estreito que o do segundo oscilador.

A figura mostra a posição de um sistema massa-mola sujeito à ação de uma força dissipativa proporcional à velocidade. Sabendo que a massa do bloco é m = 1,0 kg, pode-se afirmar que (dica: considere e lembre-se que e ):

1. A constante de amortecimento é e a frequência natural de oscilação é .
2. A constante de amortecimento é e a frequência natural de oscilação é
3. A constante de amortecimento é e a frequência natural de oscilação é
4. A constante de amortecimento é e a frequência natural de oscilação é
5. A constante de amortecimento é e a frequência natural de oscilação é

Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma massa a ser medida. Observa-se que para a primeira balança, o prato não oscila, mas a balança demora um certo tempo para marcar o valor correto depois que a massa é posta no prato. Nota-se também que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse valor possa ser lido. Assinale a alternativa INCORRETA:

1. Na primeira balança observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.
2. Na segunda balança observa-se um regime de amortecimento subcrítico.
3. Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.
4. Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança poderia oscilar por tempo indeterminado.
5. O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do sistema massa+prato+mola.

. O gráfico abaixo representa a posição em função do tempo de uma partícula de massa , que realiza um movimento harmônico amortecido, sujeita a uma força onde é a constante de amortecimento e é a velocidade do oscilador. Podemos afirmar que o valor da constante (definida como ) para este movimento é, aproximadamente:

. Uma partícula de massa , presa a uma mola de constante elástica , inicialmente em repouso na condição de equilíbrio em , recebe um impulso que lhe confere uma velocidade de , entrando em oscilação. Se a partícula movimenta-se sobre uma mesa lisa, mas está sujeita a uma força amortecedora do tipo com , a função que descreve o deslocamento da partícula em função do tempo , no sistema , em relação à origem é:

Um pêndulo de torção de massa M = 5, 0 kg, imerso em um meio viscoso, oscila em torno do seu ponto de equilíbrio obedecendo a seguinte equação de movimento:

Onde: , e

A equação de movimento que satisfaz as condições iniciais:

É dada por:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Dado um oscilador unidimensional, sabe-se que a resistência dá origem a um termo adicional obtendo a equação , onde , representa a resistência dissipativa, que atua em sentido oposto à velocidade. Dividindo por , e usando a notação complexa obtemos a equação característica , onde e . Dependendo da magnitude de sobre temos que as raízes da ultima equação proporcionam soluções exponenciais, oscilatórias com amplitude decrescente ou uma única exponencial. Estas soluções correspondem, respectivamente, aos regimes:

1. Crítico, supercrítico e crítico
2. Supercrítico, crítico e subcrítico
3. Subcrítico, supercrítico e crítico
4. Supercrítico, subcrítico e crítico
5. Subcrítico, crítico e supercrícico

Uma mola de massa desprezível, comprimento e constante se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é , sob a ação da força peso (), da força da mola e da força viscosa (). A função que descreve a posição do bloco no tempo, , deste distema será escrita como:

onde é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q7) O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, subcrítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente.

Um canhão de massa possui um sistema de recuo, que é formado por uma mola de constante elástica e um amortecedor com coeficiente de amortecimento . No instante , o canhão dispara um projétil de massa com uma velocidade.

(a) Calcule a velocidade do tambor do canhão no momento do disparo?

(b) Determine o tipo de amortecimento (subcrítico, supercrítico ou crítico)? Justifique sua resposta.

(c) Considerando que no instante t = 0 s, o tambor do canhão se encontra na posição x = 0 m, determine a posição em função do tempo x(t) do tambor do canhão.

(d) Determine o tempo que leva para o tambor do canhão atingir o menor valor de x?

(e) Esboce o gráfico de x(t), indicando possíveis extremos dessa função.

. A máxima potência dissipada é:

Assinale a alternativa correta a respeito de um bloco preso a uma mola na presença de amortecimento e na ausência de quaisquer forças externas.

1. Quanto maior o coeficiente de dissipação tanto mais rápido o sistema tende ao equilíbrio.
2. A energia cinética do bloco decresce em todos os instantes de tempo.
3. Para saber se o amortecimento é crítico, supercrítico ou subcrítico devemos analisar as condições iniciais.
4. No regime subcrítico a posição ocupada pelo bloco pode ser um número imaginário.
5. A energia mecânica do bloco não cresce em todos os instantes de tempo.

A amplitude de um osciladro harmônico com amortecimento subcrítico diminui de seu valor inicial, em . O valor do tempo característico de decaimento deste oscilador é:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Uma mola de massa desprezível, comprimento e constante se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é , sob a ação da força peso (), da força da mola e da força viscosa (). A função que descreve a posição do bloco no tempo, , deste distema será escrita como:

onde é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q5) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento deste oscilador, explicitando os valores numéricos dos coeficientes no sistema MKS.

Q6) Determine a solução particular da equação diferencial não-homogênea.

Q7) O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, subcrítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente.

Q8) Uma vez que no instante a posição do bloco é e a sua velocidade , determine a solução geral . Resolva de forma literal, sem fazer substituições numéricas.

O gráfico abaixo representa a posição de uma partícula em função do tempo , para um oscilador harmônico amortecido. A amplitude inicial , em , e a frequência angular em , desse oscilador são, respectivamente, dadas por:

a) e .

b) e .

c) e .

d) e .

e) e .

Uma mola de massa desprezível, comprimento e constante se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é , sob a ação da força peso (), da força da mola e da força viscosa (). A função que descreve a posição do bloco no tempo, , deste distema será escrita como:

onde é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q6) Determine a solução particular da equação diferencial não-homogênea.

Uma mola de massa desprezível, comprimento e constante se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é , sob a ação da força peso (), da força da mola e da força viscosa (). A função que descreve a posição do bloco no tempo, , deste distema será escrita como:

onde é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q8) Uma vez que no instante a posição do bloco é e a sua velocidade , determine a solução geral . Resolva de forma literal, sem fazer substituições numéricas.