22. Um oscilador harmônico possui frequência e amplitude . Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual à energia cinética? (Suponha que no equilíbrio.) Quantas vezes isso ocorre em um ciclo? Qual o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas? No momento em que o deslocamento é igual a , qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração correspondente à energia potencial?

Então, vamos abrir as duas equações mencionadas no passo , referentes a conservação de energia, então:

E

Agora temos que definir uma fórmula pra , vamos pensar no seguinte, pela conservação de energia , então seu valor nunca muda.

Quando um objeto em está na posição , ele só tem energia potencial, logo:

E como esse valor é constante, então temos que:

Mas lembrando que:

Então temos que:

E temos

Então a magnitude da posição e da velocidade são:

E

Agora vamos analisar o movimento para saber quantas vezes passamos pelo ponto , então começando em que é nosso equilíbrio, o objeto caminha até em e passa por uma vez, depois quando ele está voltando ela passa mais uma vez por essa posição.

Depois o objeto caminha até e passa por e na hora de voltar ele passa mais uma vez por esse ponto e parando em , completando assim um ciclo.

Então em um ciclo o objeto passa pelo ponto onde quatro vezes.

Agora para achar o intervalo de tempo pedido no enunciado, vamos ter que perceber primeiro que temos um intervalo de tempo do ponto até o ponto e vice e versa e temos também um intervalo de tempo de quando o objeto passa por ou até o ponto ou e volta passando por ou novamente. Essas são as situações consecutivas pedidas no enunciado.

Assim temos o seguinte:

Onde para e para

E temos também que:

Onde para e para , mas o detalhe diferente para essa situação é a uma fase que o movimento ganha na hora que inverte o sentido.

Vamos calcular os tempos para primeira situação. Temos:

Assim:

E para , temos:

Assim:

Então nosso primeiro intervalo de tempo fica:

Agora vamos para a outra situação, para achar o outro intervalo de tempo.

Assim:

E para , temos:

Mas como foi dito antes, essa parte ganha uma fase , então:

Assim:

Então nosso segundo intervalo de tempo fica:

Agora vamos abrir a equação da conservação de energia para encontrarmos as frações de energia cinética e potencial no ponto . Então temos:

Assim achamos um valor para , agora falta encontrar a fração das energias em relação a energia total.

Para energia cinética temos:

E para energia potencial temos: