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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 11.Exercícios e Problemas - Ex. 15

Uma partícula de 500 g que se move ao longo do eixo x experimenta a força representada na FIGURA EX11.15. A velocidade da partícula é de 2,0 m/s em x = 0 m. Qual é sua velocidade em x = 1 m, 2 m e 3 m?

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo. Vamos supor que a partícula está movendo para a direita a força F começa atura nela no momento em que ela passa por x = 0 . Essa força F está orientada para a direita. Como a força está no mesmo sentido que a velocidade, a força irá acelerar essa partícula, ou seja, a velocidade da partícula vai ficando cada vez maior...

Porém, pelo gráfico vemos que a intensidade da força vai diminuindo conforme a partícula vai se movimentando... isso só significa que a aceleração que a partícula sofre também vai diminuindo (lembre-se que F = ma, se F diminui, a também diminui).... porém, essa aceleração ainda estará orientada para a direita, de modo que a partícula continua ganhando velocidade até atingir o ponto x = 3.

Passo 2

Agora a questão é... como calculamos a velocidade x = 1, 2 e 3 m? Vamos utilizar o teorema da energia cinética. Tal teorema diz que o trabalho realizado pela força resultante em uma partícula é igual a variação de sua energia cinética. Em linguagem matemática isso se traduz em:

W = Δ E c i n é t i c a W = E f i n a l - E i n i c i a l W = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2 W = m 2 v f 2 - v i 2

onde: m é a massa da partícula, v f é a velocidade final e v i é a velocidade inicial!

Mas como calculamos esse trabalho? Como foi dado o gráfico de F × x o trabalho será igual à área sob o gráfico, ou seja,

W = á r e a   s o b   o   g r á f i c o   F × v

Passo 3

  • Para x = 1   m , temos:

    • A área hachurada é de um trapézio. Assim,

    W = Á r e a   d o   t r a p é z i o W = b a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r × a l t u r a 2 W = 15 + 10 × 1 2 W = 12,5   J

    Agora, vamos aplicar o teorema da energia cinética (a massa vale 0,5 kg e a velocidade inicial 2,0 m/s).

    W = m 2 v f 2 - v i 2 12,5 = 0,5 2 v f 2 - 2 2 v f 2 = 54 v f = 7,35   m / s

  • Para x = 2   m , temos o mesmíssimo procedimento:

    • W = á r e a   d o   t r a p é z i o W = b a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r × a l t u r a 2 W = 15 + 5 × 2 2 W = 20   J

    Portanto, aplicando o teorema da energia cinética:

    W = m 2 v f 2 - v i 2 20 = 0,5 2 v f 2 - 2 2 v f 2 = 84 v f = 9,17   m / s

  • x = 3 , por fim, temos:

W = á r e a   d o   t r i â n g u l o W = b a s e × a l t u r a 2 W = 3 × 15 2 W = 22,5   J

Portanto, aplicando o teorema da energia cinética:

W = m 2 v f 2 - v i 2 22,5 = 0,5 2 v f 2 - 2 2 v f 2 = 94 v f = 9,70   m / s

Resposta

7,35 m/s; 9,17 m/s; 9,70 m/s.

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