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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 40

Uma partícula, de massa m , viaja com uma velocidade constante v → ao longo de uma linha reta que dista b da origem O (figura 10-44). Seja d A a área varrida pelo vetor posição da partícula, em relação a O , durante o intervalo de tempo d t . Mostre que d A / d t é constante e igual a L / 2 m , onde L é a magnitude da quantidade de movimento angular da partícula em relação à origem.

Passo 1

Repara que essa variação de área que ele diz no enunciado é a área do triângulo maior menos a do triângulo menor, viu?! Vamos fazer o seguinte, considere x a componente horizontal de r 1 e x + Δ x a de r 2 . Então vai ficar assim:

Δ A = A g r a n d e - A p e q u e n a

A g r a n d e = 1 2 ⋅ b ⋅ x + Δ x

E,

A p e q u e n a = 1 2 ⋅ b ⋅ x

Passo 2

Δ A = 1 2 ⋅ b ⋅ x + Δ x - 1 2 ⋅ b ⋅ x

Logo,

Δ A = 1 2 ⋅ b ⋅ Δ x

quando temos intervalos muito pequenos de tempo ( Δ t → 0 ) :

d A d t = 1 2 ⋅ b ⋅ d x d t = 1 2 ⋅ b ⋅ v

Passo 3

Pra finalizar, vamos relacionar isso com o momento angular! Sabemos o seguinte:

L = m v | r 1 → | s e n ( θ )

d A d t = 1 2 b v

Da figura, podemos ver que r 1 → s e n θ = b !

L = m v b → b = L m v

Voltando na nossa relação:

d A d t = b v 2 = l 2 m v ⋅ v = L 2 m  

Demonstrado como o enunciado pediu :D

Resposta

Demonstração

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