Seja C uma curva plana fechada orientada. A área orientada associada a C é definida como um vetor perpendicular ao plano de C, de magnitude igual à área contida dentro de C e sentido tal que, vista da extremidade de , C é descrita em sentido anti horário (a) interprete em termos de . (b) demonstre que se orientarmos os contornos das quatro faces de um tetraedro de tal forma que o sentido de S para cada face seja sempre o da normal externa (apontando para fora do tetraedro), a resultante das áreas orientada associadas às quatro faces é nula.

Vamos pensar em dois vetores. Um deles é o vetor , que é um vetor infinitesimal tangente à curva, como um vetor derivada. O outro é o vetor , que é o vetor posição da curva. Concorda comigo que a área dessa curva pode ser entendida como a área dos triângulos formados por e ? Porque eles vão formar vários triangulinhos que compõem a curva, sacou? Mas a área do triângulo formado por dois vetores a gente acha assim:

E então,

Mas o vetor área tem a mesma direção que o vetor normal ao plano da curva, porque ele foi gerado por um produto vetorial de dois vetores da curva. Então:

Daí,