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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 2

Considere um satélite em órbita circula próxima da superfície de um planeta. (a) Mostre que o período T dessa órbita só depende da densidade média do planeta e não de sua massa total. (b) Calcule o valor de T para a Terra, para a qual ρ = 5520 k g m 3 , desprezando os efeitos da atmosfera sobre a órbita. (c) Ainda no caso da Terra, calcule a velocidade do satélite nessa órbita.

Passo 1

  1. Primeiro a gente vai olhar para a órbita do satélite, considerando que ele está a uma distância r do centro do planeta. A força gravitacional vai ser igual à força centrípeta!

    2. F g = F c p

    G M m r 2 = m ω 2 r

    Cortando m e sabendo que ω = 2 π T , vamos obter:

    G M = 2 π T 2 r 3

    A gente pode escrever a massa em função da densidade e do volume, certo?

    M = ρ V

    M = ρ 4 3 π R 3

    Substituindo isso, vai ficar assim:

    G ρ 4 3 π R 3 = 2 π T 2 r 3

    Mas se liga! Ele disse que órbita é bem próxima da superfície, né? Então a gente vai dizer que r é aproximadamente igual a R !

    4 G ρ π R 3 3 = 4 π 2 R 3 T 2

    T 2 = 3 π ρ G

    Passo 2

  2. Notou alguma parada estranha no enunciado? Então, essa densidade que ele deu é um absurdo! A densidade da Terra é mil vezes maior que essa! Na real, ρ = 5520 k g / m 3 ! Então vamos usar o valor correto! Substituindo valores aí na expressão do período, vamos obter:

    3. T 2 = 3 π 5520 × 6.67 × 10 - 11

    T ≈ 84.3   m i n

    Passo 3

  3. A velocidade a gente vai calcular pela fórmula clássica: o quanto ele andou dividido pelo tempo que passou. Ele anda uma órbita completa, no tempo de um período!

v = 2 π R T

v = 2 π 6400 × 10 3   m 84.3 × 60 s

v = 7.91 k m s

Resposta

  1. T = 3 π ρ G
  2. T ≈ 84.3   m i n
  3. v = 7.91 k m s
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