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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2f

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

f) x 2 + 4 ⋅ y 2 + 9 ⋅ z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ - 1 - x 2 - 4 ⋅ y 2 3 1 - x 2 - 4 ⋅ y 2 3 d z ⋅ d x ⋅ d y = 2 ⋅ ∫ ∫ K ∫ 0 1 - x 2 - 4 ⋅ y 2 3 d z ⋅ d x ⋅ d y =

= 2 ⋅ ∫ ∫ K 1 - x 2 - 4 ⋅ y 2 3 ⋅ d x ⋅ d y

Com nosso K sendo x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 . Assim, aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = 1 2 ⋅ ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

2 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 1 1 - ρ 2 1 2 3 ⋅ 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 1 1 - ρ 2 1 2 3 ⋅ ρ ⋅ d ρ =

Aplicando uma mudança de variável, chamando u = 1 - ρ 2 , temos que

= 2 3 ⋅ π ⋅ ∫ 1 0 - 1 2 ⋅ u 1 2 ⋅ d u = - 1 3 ⋅ π ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 1 0 = - 1 ⋅ π 9 ⋅ 0 3 2 - 1 3 2 =

= π 9

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = π 9

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