Uma partícula puntiforme que tem carga + q e massa desconhecida, m , é liberada a partir do repouso em uma região que tem campo elétrico uniforme E → dirigido verticalmente para baixo. A partícula atinge o solo com uma rapidez v = 2 g h , onde h é a altitude inicial da partícula. Determine m em termos de E , q e g .

Passo 1

Esse problema nos lembra muito a queda livre, assunto estudado em Física I (cinemática). Aqui, a situação é praticamente a mesma, mas em vez de termos apenas um campo gravitacional, temos também um campo elétrico. Veja:

Na figura, adotamos um eixo y orientado verticalmente para baixo, com y = 0 na posição inicial da partícula.

Passo 2

Como a partícula possui carga positiva e o campo elétrico está orientado para baixo, segue que a partícula sofrerá uma força elétrica também para baixo. Não podemos nos esquecer do peso :D. Logo, a força total sobre a partícula será:

F = q E + m g

Pela 2ª Lei de Newton,

m a = q E + m g ⟹ a = q E + m g m

Passo 3

Note que a aceleração é constante. Dessa forma, por Torricelli, temos:

v 2 = v 0 2 + 2 a h 2 g h 2 = 0 2 + 2 q E + m g m h 4 g h = 2 q E + m g m h 2 m g = q E + m g m g = q E ⟹ m = q E g

Passo 4

Outra resolução seria por trabalho energia. Note que a força elétrica é constante. Sendo assim, o trabalho dela vale q E h . Da mesma forma, temos para a força peso, m g h . Logo, pelo teorema da energia cinética,

W e l é t r i c a + W p e s o = Δ K = K f - K i

onde

K i = 0

pois a partícula começa do repouso, e

K f = 1 2 m v 2 = 1 2 m 2 g h 2 = 2 m g h

Dessa forma,

q E h + m g h = 2 m g h q E h = m g h ∴ m = q E g

Resposta

A massa vale m = q E / g .

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