40. Partindo da Equação ( 37.39 ) , mostre que no limite clássico ( p c ≪ m c 2 ) a energia tende ao limite clássico da energia cinética 1 2 m v ² somada com a energia de repouso m c ² .

Passo 1

Nesse exercício temos que prestar bastante atenção porque o que iremos precisar nele será puramente domínio matemático aplicado na equação 37.39 a fim de muda-la até chegar onde o enunciado pede.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação 37.39 para começarmos a usar a matemática:

E = ( m c ² ) ² + ( p c ) ² = m 2 c 4 + p 2 c 2

Vamos isolar m 2 c 4 dentro da raiz de modo que teremos:

E = m 2 c 4 1 + p 2 c 2 m 2 c 4   = m c ² 1 + p 2 m 2 c 2 = m c 2 1 + p m c 2 1 / 2

Sendo assim, teremos que:

E ≈ m c 2 1 + 1 2 p 2 m 2 c 2 = m c 2 + p 2 2 m

Sabemos que p = m v , ou seja:

E ≈   = m c 2 + 1 2 m v ²

Prontinho, era nisso que queríamos chegar!

Resposta

( m c ² ) ² + ( p c ) ² = m c 2 + 1 2 m v ²

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