Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 51
A peça de uma máquina consiste de uma barra fina e uniforme de , com de comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de e comprimento de . A barra mais longa possui uma bola pequena, porém densa de em uma das extremidades (Figura ). Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa da peça, caso a barra vertical gire no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal.
Isso significa que precisamos determinar as coordenadas do centro de massa dessa peça antes de ser girada e depois de ser girada, certo? Temos que fazer esses cálculos para no final sabermos a variação nas distâncias em e do centro de massa da barra!
Sendo assim, vamos usar as equações das coordenadas do centro de massa:
Onde é a massa de cada componente e e são são as distâncias horizontais e verticais, respectivamente. Com isso, conseguimos determinar o centro de massa antes e depois da rotação e subtrair um ponto do outro para determinar a variação dessa distância.
Vamos lá!
Passo 2
Antes da barra ser girada, ou seja, inicialmente, temos que o centro de massa para o eixo é:
No qual:
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Aqui vale ressaltar que vale metade do comprimento porque, considerando que a barra seja uniforme, então o centro de massa da mesma é exatamente seu centro, que é a metade do comprimento, ok?
Ademais, nosso eixo positivo de é para baixo e nosso eixo positivo de é para a esquerda, beleza? Só estamos fazendo isso porque a peça está nesse formato, e aí fazendo isso facilita bastante nossa visualização.
Substituindo os valores, teremos:
Passo 3
Agora que já fizemos para o eixo , temos que descobrir para o eixo , se liga:
No qual:
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Aqui vale ressaltar a mesma coisa que ressaltamos no passo anterior! Como o comprimento da barra vertical tem , então seu centro de massa é exatamente no meio, que é em .
Substituindo os valores, teremos:
Passo 4
Agora que já determinamos o centro de massa da peça antes de ser rotacionada, basta que calculemos o centro de massa da peça depois de ser rotacionada! Como a peça fica totalmente horizontal, isso implica que não há componente vertical, portanto . Sendo assim, determinando o centro de massa em , temos:
Aqui vale comentar também que, agora que a peça foi rotacionada, os valores de e passarão a ser negativos, uma vez que estarão do lado direito da origem, que estamos assumindo ser o lado negativo do eixo.
Substituindo os valores, teremos:
Passo 5
Como a questão nos pede a distância percorrida pelo centro de massa em e em , basta fazermos a variação do centro de massa nos dois momentos: antes de ser girada e depois de ser girada.
Para o eixo , temos:
Para o eixo , temos:
Com esses dados podemos concluir que o centro de massa foi deslocado para cima e para a direita.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉