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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 100

Uma pedra é lançada para baixo sobre a água com velocidade igual a 3   m g / k , onde k é o Coeficiente da Equação ( 5.7 ). Supondo que a relação entre a resistência do fluido e a velocidade seja dada pela Equação ( 5.7 ), ache a velocidade da pedra em função do tempo.

Passo 1

Olhando a equação mencionada, teremos:

f = k v

Essa equação representa a resistência de um fluido para baixas velocidades. Mas atenção, devemos lembrar do fato de que temos o peso para baixo e essa resistência para cima, à medida que um objeto cai, por exemplo, na água.

E vamos relembrar que a velocidade se relaciona com a aceleração:

m g - k v = m a

E agora relacionar a derivada temporal da velocidade:

m d v d t = m g - k v

Certo?

Passo 2

Antes de sair integrando, vamos ver o que o enunciado nos dá. Ele nos diz que a velocidade inicial é a 3   m g / k e podemos relacionar essa velocidade com a velocidade terminal v t (dá uma espiadela no livro texto se você não lembrar):

v t = m g k

Daí a velocidade inicial é:

v 0 = 3 m g k = 3 v t

Passo 3

Agora vamos voltar a nossa equação diferencial:

m d v d t = m g - k v

Vamos reorganizar os termos:

d v d t = m g - k v m = g - k m v

E aqui um truque sujo! Saca só:

d v d t = k m m g k - v

Substituindo m g / k por v t teremos:

d v d t = k m ( v t - v )

E multiplicando por d t dos dois lados podemos integrar:

d v v - v t = - k m d t

Na esquerda a integral vai de v 0 = 3 v t até v ( t ) e na direita vai de zero até um tempo t qualquer:

∫ v 0 v t d v v - v t = - k m ∫ 0 t d t

Integrando:

ln ⁡ v - v t = - k m t

Aplicando nos limites agora:

ln ⁡ v - v t - ln ⁡ 3 v t - v t = - k m t

ln ⁡ v - v t 2 v t = - k m t

v - v t 2 v t = e - k m t

v - v t = 2 v t e - k m t

v t = 2 v t e - k m t + v t

v t = v t 2 e - k m t + 1

E essa é a velocidade em função do tempo =)

Resposta

v t = v t 2 e - k m t + 1

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