Uma pequena bola com massa de 100   g desliza sem atrito por um fio em semicírculo com raio de 10   c m que roda em torno de um eixo vertical a uma taxa de 2,0 revoluções por segundo. Encontre o valor de θ para o qual a bola se mantém estacionária em relação ao fio que roda.

Passo 1

Vamos fazer um esquema simples da situação:

A seta vermelha não é uma força “real”, é apenas uma representação da direção da força centrípeta.

Não queremos que a bola deslize ao longo do arco, mas ela vai girar junto com ele em torno do eixo vertical, então teremos uma resultante centrípeta na direção de F c :

∑ F c = N sen ⁡ θ = m v 2 r

E queremos que haja equilíbrio na direção vertical, ou seja:

m g = N cos ⁡ θ

Então ficamos com o seguinte sistema:

N sen ⁡ θ = m v 2 r N cos ⁡ θ = m g

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar o valor de θ , vamos começar dividindo a primeira equação pela segunda:

tan ⁡ θ = v 2 g r

Não esqueça que v e r se referem ao movimento do arco em torno do eixo vertical, e o raio vai depender do ângulo θ e do comprimento L = 0,10   m do raio do arco, ou seja:

r = L sen ⁡ θ

Precisamos reescrever v pela sua definição para um movimento circular:

v = 2 π r T = 2 π L sen ⁡ θ T = 2 π L T sen ⁡ θ

E então:

tan ⁡ θ = v 2 g r = 2 π L T sen ⁡ θ 2 ( g   L sen ⁡ θ )

E lembrando que tan ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ :

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 4 π 2 L g T 2 sen ⁡ θ

cos ⁡ θ = g T 2 4 π 2 L

Passo 3

Como o arco completa duas revoluções a cada segundo, podemos deduzir que ele leva meio segundo para completar cada revolução, então T = 0,5   s :

cos ⁡ θ = 9,81 0,5 2 ( 4 π 2 ) ( 0,10 )

θ = arccos ⁡ 0,6212

θ ≅ 52 °

Resposta

A bola se mantém estacionária em relação ao fio quando θ = 52 ° .

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