Uma placa retangular uniforme com largura d , altura h e peso p está suspensa com seus lados superior e inferior na horizontal (figura 11.48 ). No canto inferior esquerdo, há uma dobradiça, e no canto superior direito há um cabo. a) Para qual ângulo θ com a vertical a tensão no cabo será mínima, e qual é essa tensão? b) Sob as condições do item (a), ache os componentes horizontal e vertical da força que a dobradiça exerce sobre a placa.

Passo 1

Faaala galeraa, bora fazer mais uma questão?

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) o valor do ângulo θ que faz o tensão no cabo ser mínima, o valor dessa tensão e (b) as componentes horizontal e vertical da força que a dobradiça exerce sobre a placa.

Vamos esboçar o diagrama de corpo livre da placa para entender melhor isso:

Observe que c m é o centro de massa da placa ali representado, que está sujeito a uma força peso P . Temos a tensão no cabo de sustentação T e as componentes de força F h e F v no eixo da dobradiça.

A tensão mínima ocorre quando o cabo é perpendicular ao braço de alavanca, dessa forma, temos ϕ = 90 ° e o torque será dado por:

τ = F r sen ⁡ ϕ

Além disso, para a força T (de tensão no cabo), podemos usar as relações do trângulo retângulo formado na nossa figura:

τ T = T r sen ⁡ ϕ

τ T = T h 2 + d 2 sen ⁡ ϕ

Sendo assim, o que nós vamos fazer é usar as equações de equilíbrio ( ∑ τ = 0 ,   ∑ F x = 0   e   ∑ F y = 0 ) para obter o valor da tensão T e das componentes F v e F h em função das dimensões da nossa placa.

Vamos lá!

Passo 2

a) Então, fazendo:

∑ τ = 0

Vamos ter o somatório dos torques no canto superior direito da placa:

T h 2 + d 2 sen ⁡ ϕ - P d 2 = 0

T é negativo para �� = 90 ° e nesse caso:

tan ⁡ ϕ = h d

Então,

ϕ = tan - 1 ⁡ h d

Assim, substituindo o ângulo ϕ na nossa equação de equilíbrio e isolando T , vamos ter:

T = P d 2 h 2 + d 2

Passo 3

b) Agora aplicando ∑ F x = 0 , temos que:

F h = T sen ⁡ θ

Mas vimos no passo anterior que T = P d 2 h 2 + d 2 , então substituindo, temos:

F h = P d 2 h 2 + d 2 h h 2 + d 2

E encontramos a componente horizontal da força F :

F h = P h d 2 ( h 2 + d 2 )

De maneira semelhante, aplicando ∑ F y = 0 , temos que:

F v + T cos ⁡ θ - P = 0

E substituindo a expressão da tensão encontrada, temos:

F v = P - P d 2 h 2 + d 2 d h 2 + d 2

F v = P 1 - d 2 2 h 2 + d 2

E encontramos nossa componente vertical:

F v = P 2 h 2 + d 2 2 ( h 2 + d 2 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. T = P d 2 h 2 + d 2
  2. F v = P 2 h 2 + d 2 2 ( h 2 + d 2 )
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