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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.6 - Ex. 61

Use a Equação (9.20) para calcular o momento de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo seu centro.

Passo 1

Temos que a equação do momento de inércia é:

I = ∫ r 2 d m

Sabmos que:

d m = ρ d V = ρ ( 2 π r L d r )

onde L é a espessura do disco.

Então, usaremos essa expressão na equação do momento de inércia e faremos a integração de r = R 1 para r = R 2 .

Passo 2

Assim, o momento de inércia é:

I = ∫ r 2 d m = ∫ R 1 R 2 r 2 ρ 2 π r L d r = 2 π ρ L ∫ R 1 R 2 r 3 d r = 2 π ρ L 4 R 2 4 - R 1 4 = π ρ L 2 ( R 2 2 - R 1 2 ) ( R 2 2 + R 1 2 )

Passo 3

Geralmente é mais conveniente expressar o momento de inércia em função da massa total M do corpo, que é sua densidade ρ multiplicada pelo volume total V. O volume é:

V = π L R 2 2 - R 1 2

De modo que a massa total é:

M = ρ V = π L ρ R 2 2 - R 1 2

E então, o momento de inercia é:

I = 1 2 M R 1 2 + R 2 2

Resposta

I = 1 2 M R 1 2 + R 2 2

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