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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 44

Uma porta sólida de madeira com largura de 1,0 m e altura de 2,0 m é articulada em um de seus lados e possui massa total de 40,0 kg. Inicialmente aberta e em repouso, a porta é atingida por uma porção de lama pegajosa de massa igual a 0,500 kg, que se desloca perpendicularmente à porta com velocidade de 12,0 m/s e colide com o centro da porta. Calcule a velocidade angular final da porta. A lama contribui significativamente para o momento de inércia?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma porta sólida de madeira com largura de 1,0   m e altura de 2,0   m é articulada em um de seus lados e possui massa total de 40,0   k g .

Inicialmente aberta e em repouso, a porta é atingida por uma porção de lama pegajosa de massa igual a 0,500   k g , que se desloca perpendicularmente à porta com velocidade de 12,0   m / s e colide com o centro da porta.

Queremos calcular a velocidade angular final da porta e verificar se a lama contribui de forma significativa para o momento de inércia.

Bom... para isso, vamos considerar um sistema formado pela porta juntamente com a lama.

Não existe nenhum torque externo em torno do eixo definido pelas dobradiças, de modo que o momento angular em torno desse eixo deve se conservar.

Temos, portanto, L = I ω . Como estamos procurando a velocidade angular final ω , vamos isolar nesta equação

ω = L I

Observação: O momento angular inicial é dado por L = m v l . Enquanto, o momento angular final é I ω , onde I =   I p o r t a + I l a m a .

Lembrando que o momento de inércia da porta é I p o r t a = 1 3 M l 2 .

Onde L é o momento angular, I é o momento de inércia, M é a massa e l é o comprimento.

Tudo bem? Agora vamos resolver.

Passo 2

Vamos organizar os dados na equação,

ω = m v ( l 2 ) 1 3 M l 2 + m ( l 2 ) 2

E resolver...

ω = 0,500   k g ( 12,0 m s ) ( 0,500   m ) 1 3 ( 40,0   k g ) 1,00   m 2 + ( 0,500   k g ) ( 0,500   m ) 2

Temos, então

ω = 0,223   r a d / s

A pergunta feita na questão propõe se a lama interfere para o momento de inércia.

Se analisarmos, primeiramente a lama possui um valor de inécia diferente comparado ao da porta (claro!) e é exatamente nesse ponto que ela contribui para mudança nos valores.

Além disso, se ignoramos a massa do barro no denominador da expressão acima, resulta em   =   0.225   r a d / s (Fica aí o exercício :D).

Tudo certo?!

Resposta

Resposta: ω = 0,223   r a d / s . Sim, a lama contribui significativamente para o momento de inércia.

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