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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 2.1 - Ex. 61

A posição de uma certa partícula depende do tempo de acordo com a equação x t = t 2 - 5,0 t + 1,0 , onde x está em metros e t está em segundos. (a) Encontre o deslocamento e a velocidade média par o intervalo 3,0   s ≤ t ≤ 4,0   s . (b) Encontre a fórmula geral para o deslocamento no intervalo de tempo t   a t + ∆ t . (c) Use o processo limite para obter a velocidade instantânea em qualquer tempo t .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O deslocamento da partícula no intervalo, é dado por:

∆ x = x 4   s - x ( 3   s )

A velocidade média é dada por:

v m é d = ∆ x ∆ t

As posições serão:

x 3   s = 3 2 - 5 ⋅ 3 + 1

x 3   s = - 5   m

x 4   s = 4 2 - 5 ⋅ 4 + 1

x 4   s = - 3   m

Substituindo os valores, temos que:

∆ x = ( - 3   m ) - ( - 5   m )

∆ x = 2   m

A velocidade média será:

v m é d = 2   m 1   s

v m é d = 2   m / s

Passo 2

Agora vamos encontrar a fórmula geral para o deslocamento no intervalo t a t + ∆ t .

x t + ∆ t = ( t + ∆ t ) 2 - 5,0 ( t + ∆ t ) + + 1,0

x t + ∆ t = ( t 2 + 2 t ∆ t + ∆ t 2 ) - 5,0 ( t + ∆ t ) + + 1,0

Temos que:

∆ x = x t + ∆ t - x ( t )

Então:

∆ x = ( 2 t - 5 ) ∆ t + ∆ t 2

Passo 3

Queremos a velocidade instantânea em qualquer tempo, então:

∆ x ∆ t = 2 t - 5 ∆ t + ∆ t 2 ∆ t

∆ x ∆ t = 2 t - 5 + ∆ t

v = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ x ∆ t  

v = lim ∆ t → 0 ⁡ 2 t - 5 + ∆ t

v = 2 t - 5

Resposta

a ) v m é d = 2   m / s

b ) ∆ x = ( 2 t - 5 ) ∆ t + ∆ t 2

c ) v = 2 t - 5

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