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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.4 - Ex. 32

A hélice propulsora de um avião possui comprimento de 2,08   m (de uma extremidade a outra) e sua massa é de   117   k g . Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de 1950   N ⋅ m na hélice, que começa a se mover a partir do repouso. a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina. (Sugestão: veja a Tabela 9.2 .) b)

Qual é a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5,0   r e v ? c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 5,0   r e v iniciais? d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5,0   r e v iniciais? e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5,0   r e v ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma hélice de 2,08   m de comprimento, com massa de 117   k g , na qual é aplicada um torque de 1950   N ∙ m . Ele pediu pra gente calcular a aceleração angular dessa hélice, sua velocidade angular, o trabalho realizado pelo motor durante as 5 revoluções iniciais, a potência fornecida durantes essas revoluções e a potência instantânea do instante em que ela completas as 5 voltas.

Bastante coisa, mas vamos por partes. Essa questão da para fazer de uma forma bem direta. No primeiro item, vamos aplicar um torque numa hélice em repouso e ela vai começar a girar com uma acelaração α . Então temos que:

∑ τ = I α

Além disso, como estamos falando de uma hélice, temos que sua inércia pode ser dada por,

I = 1 2 m L 2

A partir disso, a gente consegue encontrar sua aceleração angular. Depois, vamos calcular a velocidade angular através da equação:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α ∆ θ

E encontrar o trabalho e a potência por meio das respectivas fórmulas:

W = τ θ

P = W t

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia da hélice, substituindo os dados do enunciado na equação que vimos no passo 1 . Assim, temos:

I = 1 2 m L 2

I = 1 2 117 k g ⋅ 2,08 m 2

I = 42,2 k g ⋅ m 2

Dessa forma, vamos calcular a aceleração angular da hélice através da fórmula:

τ = I α

Onde τ é o torque fornecido. Assim, isolando α e substituindo os dados, temos a aceleração angular:

α = τ I

α = 1950 N ⋅ m 42,2 k g ⋅ m 2

α = 46,2 r a d / s 2

Passo 3

Como não nos foi fornecido o tempo, vamos calcular a velocidade angular pela equação de Torricelli na forma:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α ∆ θ

Subsitutindo, a aceleração encontrada no passo anterior e a conversão das 5 revoluções, temos:

⇒ ω = 2 α θ

ω = 2 ⋅ 46,2 r a d s 2 ⋅ 5 r e v ⋅ 2 π r a d r e v

ω = 53,9 r a d / s

Passo 4

Agora vamos calcular o trabalho através da fórmula:

W = τ θ

Substituindo os dados de torque e revolução, obtemos:

W = 1950 N ⋅ m ⋅ 5 r e v ⋅ 2 π r a d r e v

W = 6,13 × 10 4 J

Passo 5

Com as informações já calculadas podemos encontrar o tempo, por:

t = ω - ω 0 α = 53,9 r a d s 46,2 r a d s 2

t = 1,17 s

Com isso, nós conseguimos calcular a potência instantânea do motor através da relação:

P = W ∆ t

Substituindo os dados do trabalho e do tempo encontrados, temos:

P = 6,13 × 10 4 J 1,17 s

P = 52,5 k W

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. α = 42,2 r a d / s 2
  2. ω = 53,9 r a d / s
  3. W = 6,13 × 10 4 J
  4. t = 1,17 s
  5. P = 52,5 k W
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