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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 76

Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de 53 m/s. Encontre o ângulo de lançamento (o ângulo que o vetor velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja igual ao seu alcance horizontal. (ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O problema nos pede o ângulo de lançamento do projétil. A informação importante para resolver esta questão é a de que a altura máxima do movimento vai ser igual ao alcance máximo do prójetil.

Vamos expressar as equações da posição vertical e horizontal:

x = ( v 0 cos ⁡ θ 0 ) t

y = v 0 sin ⁡ θ 0 t - 1 2 g t 2

Isolando t na primeira equação e substituindo na segunda, teremos:

y = tan ⁡ θ 0 x - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ 0 x 2

Passo 2

Vamos aplicar as informações do enunciado. O alcance máximo, R , será igual a altura máxima H .

Sabemos que quando o alcance é máximo a altura é zero. Logo:

0 = tan ⁡ θ 0 R - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ 0 R 2

tan ⁡ θ 0 R = g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ 0 R 2

tan ⁡ θ 0 = g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ 0 R

R = 2 v 0 2 tan ⁡ θ 0 cos 2 ⁡ θ 0 g

R = 2 v 0 2 sin ⁡ θ 0 cos 2 ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 ⋅ g

R = v 0 2 ⋅ 2 sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 g

Passo 3

Para a altura máxima podemos usar Torricelli.

v y 2 = v 0 y 2 - 2 g H

H = v 0 y 2 2 g

H = v 0 sin ⁡ θ 0 2 2 g

H = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 0 2 g

Agora podemos aplicar a informação importante do problema:

R = H

v 0 2 ⋅ 2 sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 g = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 0 2 g

2 cos ⁡ θ 0 = sin ⁡ θ 0 2

sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 = 4

θ 0 = tan - 1 ⁡ 4

θ 0 = 76 °

Resposta

θ 0 = 76 °

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