Em 1993, a sona Galileu enviou à Terra uma imagem do asteroide 243 Ida e de uma minúsculo satélite (hoje conhecido como Dactyl), o primeiro exemplo confirmado de um sistema asteroide-satélite. Na imagem, o satélite, que tem 1,5   k m de largura, está a 100   k m do centro do asteroide, que possui 55   k m de comprimento. A forma da órbita do satélite não é conhecida com precisão; suponha que seja circular, com um período de 27   h . (a) Qual é a massa do asteroide? (b) O volume do asteroide, medido a partir das imagens da Galileu, é 14.100   k m 3 . Qual é a massa específica (massa por unidade de volume) do asteroide?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, primeiro de tudo, vamos organizar as informações que o enunciado nos dá para achar a massa do asteroide. A largura do satélite e o comprimento do asteroide não são muito úteis para nós, mas temos que:

O raio da órbita do satélite em torno do asteroide:

R = 100   km

R = 100 × 10 3   m

O período de revolução:

T = 27   h

T = 27 ×   60 × 60

T = 97200   s

A fórmula que relaciona essas grandezas é a 3ª lei de Kepler, expressa como:

T 2 = 4 π 2 G M R 3

Então bora lá resolver essas questões!!

Passo 2

Iradoso, agora já temos tudo para achar a resposta. Vamos substituir os valores na nossa equação:

T 2 = 4 π 2 G M R 3

Isolando M :

M = 4 π 2 R 3 G T 2

Logo:

M = 4 3,14 2 100 × 10 3 3 6,67 × 10 - 11 97200 2

M = 6,3 × 10 16   kg

Pronto, já respondemos o item (a).

Passo 3

Agora, para responder o item (b), vamos lembrar da fórmula para a massa específica:

ρ = M V

Como o volume já foi dado no enunciado, a solução dada como:

ρ = 6,3 × 10 16 14100

ρ = 4,4 ×   10 12   kg/k m 3

Pronto!

Resposta

(a) M = 6,3 × 10 16   kg

(b) ρ = 4,4 ×   10 12   kg/k m 3

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