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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 26.1 - Ex. 29

Um próton, um dêuteron e uma partícula alfa seguem trajetórias circulares de mesmo raio em uma região com um campo magnético uniforme. O dêuteron tem carga igual à do próton, e a carga da partícula alfa é igual ao dobro da carga do próton. Considere m α = 2 m d = 4 m p . Compare (a) a rapidez de cada um, (b) as energias cinéticas e (c) as magnitudes dos momentos angulares em relação aos centros das órbitas.

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Observe que, podemos aplicar a segunda lei de Newton às partículas em órbita para derivar uma expressão para suas velocidades orbitais em função de sua carga, sua massa, o campo magnético em que se movem e os raios de suas órbitas. Podemos então comparar suas velocidades, expressando suas proporções. Nas partes (b) e (c), podemos proceder de forma semelhante, começando com as definições de energia cinética e momento angular.

Passo 2

Pouco complicado? Vamos com calma. No item a). Aplicando a segunda lei de Newton para o elétron, temos

F = m ∙ a

q v B = m v 2 r

v = q B r m

Logo, as velocidades das partículas são dadas por:

v p = q p B r m p

v α = q α B r m α

v d = q d B r m d

Dividindo a equação da velocidade α pela do próton temos:

v α v p = q α B r m α q p B r m p = q α m p q p m α = 2 e m p e 4 m p = 1 2    

2 v α = v p

Dividindo a equação da velocidade d pela do próton temos:

v d v p = q d B r m d q p B r m p = q d m p q p m d = e m p e 2 m p = 1 2    

2 v d = v p

Combinando os resultados temos

2 v α = 2 v d = v p

Passo 3

Usando a expressão para sua velocidade orbital derivada em (a), expressa a energia cinética de uma partícula orbitária:

Usando a definição, a energia cinética do próton é:

K = 1 2 m v 2

K = 1 2 m   q B r m 2 = q 2 B 2 r 2 2 m

A energia cinética nas três partículas é dada por:

K p =   q p 2 B 2 r 2 2 m p

K α =   q α 2 B 2 r 2 2 m α

K d =   q d 2 B 2 r 2 2 m d

Dividindo a equação da energia cinética de α pela do próton, temos:

K α K p = q α 2 B 2 r 2 2 m α q p 2 B 2 r 2 2 m p = q α 2 m p   q p 2 m α = 2 e 2 m p e 2 4 m p

K α K p = 1

K α = K p

Dividindo a equação da energia cinética de d pela do próton, temos:

K d K p = q d 2 B 2 r 2 2 m d q p 2 B 2 r 2 2 m p = q d 2 m p   q p 2 m α = e 2 m p e 2 2 m p

K d K p = 1 2

Combinando os resultados, temos que

K α = 2 K d = K p

Passo 4

No item c). Lembre-se que o momento angular das partículas orbitantes é dado por:

L p = m p v p r

L α = m α v α r

L d = m d v d r

Expressando o raio de L α para L p

L α L p = m α v α r m p v p r = 4 m p 1 2 v p m p v p = 2

L α = 2 L p

Expressando o raio de L d para L p

L d L p = m d v d r m p v p r = 2 m p 1 2 v p m p v p = 1

L d = L p

Combinando os resultados

L α = 2 L d = 2 L p

Resposta

a ) 2 v α = 2 v d = v p

b )   K α = 2 K d = K p

c )   L α = 2 L d = 2 L p

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