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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 48

Qual é a rapidez inical necessária para que uma partícula lançada da superfície da Terra tenha uma rapidez final igual à sua rapidez de escape quando estiver muito distante da terra? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Primeiro vamos achar a velocidade de escape. Se liga só:

1 2 m v f 2 - 1 2 m v e 2 = - G M m R T - - G M m r f

Nosso r f = ∞ e nossa v f = 0 . Logo,

1 2 m v e 2 = G M m R T

Assim,

v e = 2 G M R T = 2 g R T

Passo 2

Nessa situação, queremos que nossa rapidez final seja a v e . Então temos o seguinte:

1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2 = - G M m R T - - G M m r f

Agora temos que r f = ∞ e v f = v e :

1 2 m v e 2 - 1 2 m v i 2 = - G M m R T - 0

Passo 3

Agora é só isolar nossa rapidez inical e correr pro abraço!

v i 2 = 2 G M R T + v e 2 = 2 g R T + v e 2

Então,

v i = 2 g R T + 2 g R T = 4 g R T

Subsbtituindo e fazendo as contas:

v e = 4 g R T = 4 ⋅ 9,81 N k g ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 m = 15,8   k m / s

Resposta

v i = 15,8   k m / s

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