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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 106

Referencial do centro de massa. Um disco de hóquei A (com massa igual a m A ) deslocando-se com velocidade v → A 1 ao longo do eixo + O x sobre uma mesa de ar horizontal sem atrito sofre uma colisão frontal elástica com um disco de hóquei B (massa m B ) inicialmente em repouso. Depois da colisão, os dois discos se movem ao longo do eixo + O x . a) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema dos dois discos antes da colisão. b) Considere um sistema de coordenadas cuja origem é localizada no centro de massa e que se move com ele. Esse sistema de coordenadas constitui um sistema de referência inercial? c) Quais são as velocidades iniciais u → A 1 e u → B 1 neste referencial do centro de massa? Qual é o momento linear total do sistema nesse referencial do centro de massa? d) Use a lei da conservação do momento linear e a lei da conservação da energia, aplicando-as para o referencial do centro de massa, para obter relações entre o momento linear final e o momento linear inicial de cada disco de hóquei e, portanto, entre a velocidade final e a velocidade inicial de cada disco de hóquei. Os seus resultados mostrarão que problemas envolvendo uma colisão frontal elástica em uma dimensão podem ser descritos de modo muito simples em relação ao referencial do centro de massa. e) Considere m A = 0,400   k g , m B = 0,200   k g e v A 1 = 6,0   m / s . Usando o resultado da parte (d), determine as velocidades do centro de massa u → A 1 e u → B 1 ; a seguir, transforme as velocidades para o sistema estacionário para achar as velocidades finais dos discos. Os seus resultados concordam com os obtidos nas equações (8.24) e (8.25)?

Passo 1

A velocidade do centro de massa do sistema dos dois blocos é dada pela Eq. 8,30. Conservação

de momento diz que o centro de massa se move a uma velocidade constante.

Devemos nos atentar também que nosso problema se passa sobre o eixo horizontal x , logo

v A x = v A

Como o disco B se encontra em repouso inicialmente, v B 1 = 0   . Outro ponto importante é saber que a velocidade u → é proporcional a v → A e à v c m por u → = v → - v → c m .

Também é importante saber que a energia cinética pode ser escrita como K = p 2 2 m

Por fim, da Eq.(8.30)

v → c m = m 1 v → 1 + m 2 v → 2 + … m n v → n m 1 + m 2 + … + m n  

Passo 2

  1. Tomando a Eq.(8.30) temos que

    2. v c m x = v c m = m A v A 1 m A + m B

    Passo 3

  2. Pela equação do item (a), temos que a velocidade do centro de massa, v c m é constante, logo ela representa um referência inercial.

    3. Passo 4

  3. Temos que

    4. u A x = v A - v c m = m B v A m A + m B e u B x = v B - v c m =   - m A v A m A + m B

    O momento será

    P u = m A u A + m B u B = v A m A m B v A - m B m A v A m A + m B = 0

    Passo 5

  4. Como p A 1 x + p B 1 x = 0   e p A 2 x + P B 2 x = 0 então teremos que p B 1 x =   - p A 1 x e p B 2 x =   - p A 1 x .

    5. Da conservação de energia teremos que

    p A 2 x 2 2 m A + p B 2 x 2 2 m B = p A 1 x 2 2 m A + p B 1 x 2 2 m B

    Usando as relações obtidas da conservação de momento, temos que

    p A 2 x 2 = p A 1 x 2 → p A 2 x =   ± p A 1 x

    Passo 6

  5. Usando os dados fornecidos no item (e) temos que para calcular u A 1 x

v c m = 0,400   k g 0,600   k g ⋅ 6,00 m s = 4,00 m s  

u A 1 x = 6,00 m s - 4,00 m s = 2,00 m s

Agora para determinar u B 1 x

u B 1 x = 0 - 4,00 m s =   - 4,00 m s

u A 2 x = - 2,00 m s

u B 2 x = 4,00 m s

Agora podemos determinar as velocidades dos discos

v A 2 x = u A 2 x + v c m =   - 2,00 m s + 4,00 m s = 2,00 m s

e

v B 2 x = u B 2 x + v c m = 4,00 m s + 4,00 m s = 8,00 m s

Se usarmos as Eq. (8.24) e (8.25) teremos que

v A 2 x = 0,400   k g - 0,200   k g 0,400   k g + 0,200   k g 6,00 m s = 2,00 m s

e

v B 2 x = 2 0,400   k g 0,400   k g + 0,200   k g 6,00 m s = 8,00 m s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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