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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 65

Uma roda varia sua velocidade angular com uma aceleração angular constante enquanto gira em tomo de um eixo fixo passando em seu centro , a ) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo é igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do ponto ao eixo . b ) A aceleração radial de um ponto sobre a roda situado a uma distância de 0 , 250 m do eixo varia de 25,0 m /s a 85 , 0 m/s para um deslocamento angular da roda igual a 15,0 rad. Calcule a aceleração tangencial desse ponto , c ) Mostre que a variação da energia cinética da roda durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a aceleração angular e vezes o deslocamento angular , d) Durante o deslocamento angular de 15 , 0 rad mencionado na parte ( b ), a energia cinética da roda cresce de 20,0 J para 45 , 0 J . Qual é o momento de inércia da roda em relação ao eixo de rotação?

Passo 1

  1. Da equação (9.15) podemos encontrar a mudança no módulo da aceleração radial:

Δ a r a d = a r a d - a r a d , 0 = ω ² r - ω ² 0 r = r ( ω ² - ω 0 ² )

Se conhecermos o deslocamento angular inicial θ0​ e a velocidade angular ω0​, da equação (9.12) podemos encontrar a variação dos quadrados da velocidade angular:

ω z ² = ω 0 z ² + 2 α ( θ - θ 0 )

ω z ² - ω 0 z ² = 2 α ( θ - θ 0 )

Substituindo o resultado superior na expressão para a mudança na magnitude da aceleração radial, podemos encontrar a equação solicitada:

Δ a r a d = 2 α r ( θ - θ 0 )

Passo 2

b)A aceleração tangencial é dada por (9.14):

a t a n = r α

Como conhecemos a mudança na aceleração radial e o deslocamento angular total, podemos usar o resultado da parte a) para expressar a aceleração angular α, com a qual temos:

α t a n = r Δ a r a d 2 r ( θ - θ 0 ) = a r a d - a r a d , 0 2 r ( θ - θ 0 )

a t a n = 85 - 25 2 ( 20 ) = 1.5   m / s

Passo 3

c)A diferença de energia cinética é dada por:

Δ K = K - K 0 = 1 2 I ω ² - 1 2 I ω ² 0 = 1 2 I ( ω ² - ω ² 0 )

Substituindo a variação das velocidades dos quadrados angulares (11) temos o resultado procurado:

Δ K = α I ( θ - θ 0 )

d)Do resultado de c) podemos encontrar o momento de inércia da roda:

I = Δ K α ( θ - θ 0 ) = K - K 0 α ( θ - θ 0 ) = K - K 0 Δ a r a d 2 r ( θ - θ 0 ) ( θ - θ 0 )

I = 2 r K - K 0 a r a d - a r a d , 0 = 2 ( 0.25 ) 45 - 20 85 - 25

I ≈ 0.208   k g m ²

Resposta

  1. Δ a r a d = 2 α r ( θ - θ 0 )
  2. 1.5   m / s
  3. Δ K = α I ( θ - θ 0 )
  4. I ≈ 0.208   k g m ²

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