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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.6 - Ex. 51

Um satélite é colocado em uma órbita elíptica cujo ponto mais distante está a 360   k m da superfície da Terra e cujo ponto mais próximo está a 180   k m da superfície. Calcule (a) o semi-eixo maior e (b) a excentricidade da órbita

Passo 1

Vamos visualizar a situação:

Veja que na figura a Terra foi colocada mais ou menos no foco da elipse, respeitando a 1ª lei de Kepler.

Passo 2

A questão fala nos pontos mais/menos próximos da órbita, e pede informações sobre a geometria da elipse. Vamos lembrar das fórmulas que relacionam esses valores:

R m á x = a . ( 1 + e )

R m í n = a . ( 1 - e )

Temos as distâncias máxima e mínima do satélite em relação à superfície da Terra. Se somarmos o raio da Terra a esses valores, vamos ter R m á x e R m í n :

R m á x = 6,37   .   10 6 + 360   .   10 6 =   6,73   .   10 6   m

R m í n = 6,37   .   10 6 + 180   .   10 6 =   6,55   .   10 6   m

Agora o primeiro par de equações vira um sistema:

6,73   .   10 6   = a . ( 1 + e ) 6,55   .     10 6 = a .   ( 1 - e )

Passo 3

Temos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Podemos usar ele pra resolver a questão toda! Primeiro, vamos achar o valor de a .

Somando as duas equações:

6,73   .   10 6 + 6,55   .   10 6 = a + a . e + a - a . e

6,73   .   10 6 + 6,55   .   10 6 = 2 . a

a = 6,73   .   10 6 + 6,55   .   10 6 2 = 6,64   .   10 6   m

E assim temos a resposta do item (a)

Passo 4

Agora queremos achar o valor de e . Mas como já sabemos que a = 6,64   .   10 6   m é só substituir isso em qualquer uma das equações. Vamos pegar a primeira:

6,73   .   10 6   = a . ( 1 + e )

6,73   .   10 6   = 6,64   .   10 6 . ( 1 + e )

e = 6,73   .   10 6 6,64   .   10 6 - 1 = 0,0136

Pronto!

Resposta

(a) a = 6,64   .   10 6   m

(b) e = 0,0136

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O Cometa Halley (Fig. P11.21) aproxima-se do Sol dentro de 0,570U A , e seu período orbital é 75,6a n o s . ( U A é o símbolo da unidade astronômica;1U A=1,50 × 10 11m é a distância média Terra-Sol.)
65 . Estudos sobre a relação do Sol com a nossa galáxia – a Via Láctea – têm revelado que o Sol está localizado próximo da borda externa do disco galáctico, cerca de 30000 anos-luz ( 1a n o - l u z =
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62 . Por que a seguinte situação é impossível? Uma nave espacial é lançada em uma órbita circular ao redor da Terra e a circula uma vez por hora.