Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 64

64 . O satélite artificial mais antigo em órbita ainda é o Vanguard I, lançado em 3 de março de 1958 . Sua massa é de 1,60   k g . Desprezando a resistência do ar, o satélite ainda estaria em sua órbita inicial, com uma distância mínima do centro da Terra de 7,02   M m e uma velocidade no ponto de perigeu de 8,23   k m / s . De acordo com essa órbita, encontre ( a ) a energia total do sistema Terra-satélite e ( b ) o módulo do momento angular do satélite. ( c ) No apogeu, encontre a velocidade do satélite e sua distância do centro da Terra. ( d ) Encontre o semieixo maior de sua órbita. ( e ) Determine seu período.

Passo 1

Vamos juntos resolver essa questão!

Vamos analisar cada item separadamente para gente não se embolar. Mas antes de começarmos vamos ver algumas coisas que vamos usar.

O satélite orbitando a Terra tem seu momento angular constante para qualquer ponto da trajetória e sua energia total também é constante em qualquer ponto da trajetória.

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

A energia total Terra satélite vai ser dada pela soma da energia cinética do satélite mais a energia potencial gravitacional entre eles, assim:

E t o t = 1 2 m v 2 - G M m r

Como a energia é constante podemos calcular no ponto de perigeu onde temos a distância entre o satélite e o centro da Terra e a velocidade nesse ponto, que elea acaba sendo a mesma para qualquer outro. Então:

E t o t = 1 2 ( 1,6 ) ( 8,23 × 10 3 ) 2 - ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,98 × 10 24 ) ( 1,6 ) 7,02 × 10 6

= 5,42 × 10 7 - 9,096 × 10 7

⇒ E t o t = - 36,76 × 10 6   J

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Para calcular o momento angular vamos usar a seguinte equação:

L = m v r

Onde vamos usar os valores de r e v no perigeu, já que o momento angular é constante, assim:

L = ( 1,6 ) ( 8,23 × 10 3 ) ( 7,02 × 10 6 )

⇒ L = 9,24 × 10 10   k g ⋅ m 2 / s

Passo 4

Agora para o item ( c ) .

Como o momento angular e a energia total são constantes, podemos usar os valores deles para calcular a velocidade e a distância ao centro da Terra no apogeu.

Com siderando então o ponto do apogeu temos uma velocidade u e uma distância R , assim:

L = m u R

⇒ u = L m R

E a energia total:

E t o t = 1 2 m u 2 - G M m R

Substituindo a expressão para u , temos:

E t o t = 1 2 m L m R 2 - G M m R

⇒ E t o t = 1 2 L 2 m R 2 - G M m R

Multiplicando os dois lados por R 2 , temos:

E t o t R 2 = L 2 2 m - G M m R

⇒ E t o t R 2 + G M m R - L 2 2 m = 0

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

( - 36 , 76 × 10 6 ) R 2 + ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,98 × 10 24 ) ( 1,6 ) R - ( 9,24 × 10 10 ) 2 2 ( 1,6 ) = 0

⇒ - 36,76 × 10 6 R 2 + 6,38 × 10 14 - 2,668 × 10 21 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau para R , temos:

R = 10,3 × 10 6   m

Essa então é a distância entre o satélite e a Terra no apogeu.

Passo 5

Agora com a distância R no apogeu, podemos calcular u , temos:

u = L m R

⇒ u = 9,24 × 10 10 ( 1,6 ) ( 10,3 × 10 6 )

Assim temos que:

u = 5,6 × 10 3   m / s

Passo 6

Agora vamos para o item ( d ) .

Para achar o semieixo maior dado por a vamos usar que 2 a é igual a soma da distância do apogeu mais a distância do perigeu. Assim:

2 a = r + R

⇒ a = r + R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

a = 7,02 × 10 6 + 10,3 × 10 6 2

⇒ a = 8,66 × 10 6   m

Passo 7

Agora para o último item, letra ( e ) .

Para achar esse período vamos usar a terceira lei de Kepler, dada por:

T 2 = 4 π 2 G M a 3

⇒ T = 4 π 2 G M a 3

Substituindo os valores conhecidos, temos:

T = 4 π 2 ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,98 × 10 24 ) ( 8,66 × 10 6 ) 3

= 9,89 × 10 - 14 6,49 × 10 20

Assim temos que:

T = 8011,6   s

Prontinho, encontramos tudo o que ele queria!

Resposta

( a )

E t o t = - 36,76 × 10 6   J

( b )

L = 9,24 × 10 10   k g ⋅ m 2 / s

( c )

R = 10,3 × 10 6   m

u = 5,6 × 10 3   m / s

( d )

a = 8,66 × 10 6   m

( e )

T = 8011,6   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um planeta leva 300 dias (terrestres) para completar uma órbita circular em torno do seu sol, que tem uma massa de 6,0 × 10 30k g . Quais são (a) o raio da órbita e (b) a velocidade orbital do planeta
12.32. Planeta Vulcano. Suponha que houvesse sido descoberto um planeta entre o Sol e Mercúrio, com uma órbita circular de raio igual a 2/3 do raio orbital de Mercúrio. Qual seria o período orbital de
12.37. A espaçonave Helios B possuía uma velocidade de 71 km/s quando ela estava a 4,3 ⋅ 10 7k m do Sol. a) Prove que ela não estava em uma órbita circular em torno do Sol. b) Prove que sua órbita em
12.35. a) Use a Figura 12.19 para mostrar que a distância entre o Sol e um planeta no periélio é igual a 1 ⋅ e a , e a distância entre o Sol e um planeta no afélio é igual a 1 + e a e, portanto, a som
12.34. Em março de 2006, foram descobertos dois pequenos satélites orbitando Plutão, um deles a uma distância de 48000 km e o outro a 64000 km. Já se sabia que Plutão possuía um grande satélite, Caron