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Enunciado

Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - Ed: 1º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 69d

64 . O satélite artificial mais antigo em órbita ainda é o Vanguard I, lançado em 3 de março de 1958 . Sua massa é de 1,60   k g . Desprezando a resistência do ar, o satélite ainda estaria em sua órbita inicial, com uma distância mínima do centro da Terra de 7,02   M m e uma velocidade no ponto de perigeu de 8,23   k m / s . De acordo com essa órbita, encontre ( a ) a energia total do sistema Terra-satélite e ( b ) o módulo do momento angular do satélite. ( c ) No apogeu, encontre a velocidade do satélite e sua distância do centro da Terra. ( d ) Encontre o semieixo maior de sua órbita. ( e ) Determine seu período.

Passo 1

Vamos juntos resolver essa questão!

Vamos analisar cada item separadamente para gente não se embolar. Mas antes de começarmos vamos ver algumas coisas que vamos usar.

O satélite orbitando a Terra tem seu momento angular constante para qualquer ponto da trajetória e sua energia total também é constante em qualquer ponto da trajetória.

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

A energia total Terra satélite vai ser dada pela soma da energia cinética do satélite mais a energia potencial gravitacional entre eles, assim:

E t o t = 1 2 m v 2 - G M m r

Como a energia é constante podemos calcular no ponto de perigeu onde temos a distância entre o satélite e o centro da Terra e a velocidade nesse ponto, que elea acaba sendo a mesma para qualquer outro. Então:

E t o t = 1 2 ( 1,6 ) ( 8,23 × 10 3 ) 2 - ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,98 × 10 24 ) ( 1,6 ) 7,02 × 10 6

= 5,42 × 10 7 - 9,096 × 10 7

⇒ E t o t = - 36,76 × 10 6   J

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Para calcular o momento angular vamos usar a seguinte equação:

L = m v r

Onde vamos usar os valores de r e v no perigeu, já que o momento angular é constante, assim:

L = ( 1,6 ) ( 8,23 × 10 3 ) ( 7,02 × 10 6 )

⇒ L = 9,24 × 10 10   k g ⋅ m 2 / s

Passo 4

Agora para o item ( c ) .

Como o momento angular e a energia total são constantes, podemos usar os valores deles para calcular a velocidade e a distância ao centro da Terra no apogeu.

Com siderando então o ponto do apogeu temos uma velocidade u e uma distância R , assim:

L = m u R

⇒ u = L m R

E a energia total:

E t o t = 1 2 m u 2 - G M m R

Substituindo a expressão para u , temos:

E t o t = 1 2 m L m R 2 - G M m R

⇒ E t o t = 1 2 L 2 m R 2 - G M m R

Multiplicando os dois lados por R 2 , temos:

E t o t R 2 = L 2 2 m - G M m R

⇒ E t o t R 2 + G M m R - L 2 2 m = 0

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

( - 36 , 76 × 10 6 ) R 2 + ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,98 × 10 24 ) ( 1,6 ) R - ( 9,24 × 10 10 ) 2 2 ( 1,6 ) = 0

⇒ - 36,76 × 10 6 R 2 + 6,38 × 10 14 - 2,668 × 10 21 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau para R , temos:

R = 10,3 × 10 6   m

Essa então é a distância entre o satélite e a Terra no apogeu.

Passo 5

Agora com a distância R no apogeu, podemos calcular u , temos:

u = L m R

⇒ u = 9,24 × 10 10 ( 1,6 ) ( 10,3 × 10 6 )

Assim temos que:

u = 5,6 × 10 3   m / s

Passo 6

Agora vamos para o item ( d ) .

Para achar o semieixo maior dado por a vamos usar que 2 a é igual a soma da distância do apogeu mais a distância do perigeu. Assim:

2 a = r + R

⇒ a = r + R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

a = 7,02 × 10 6 + 10,3 × 10 6 2

⇒ a = 8,66 × 10 6   m

Passo 7

Agora para o último item, letra ( e ) .

Para achar esse período vamos usar a terceira lei de Kepler, dada por:

T 2 = 4 π 2 G M a 3

⇒ T = 4 π 2 G M a 3

Substituindo os valores conhecidos, temos:

T = 4 π 2 ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,98 × 10 24 ) ( 8,66 × 10 6 ) 3

= 9,89 × 10 - 14 6,49 × 10 20

Assim temos que:

T = 8011,6   s

Prontinho, encontramos tudo o que ele queria!

Resposta

( a )

E t o t = - 36,76 × 10 6   J

( b )

L = 9,24 × 10 10   k g ⋅ m 2 / s

( c )

R = 10,3 × 10 6   m

u = 5,6 × 10 3   m / s

( d )

a = 8,66 × 10 6   m

( e )

T = 8011,6   s

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