Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.7 - Ex. 65
Um satélite está em órbita circular de raio em torno da Terra. A área delimitada pela órbita é proporcional a , já que . Determine a forma de variação com das seguintes propriedades do satélite: (a) o período, (b) a energia cinética, (c) o momento angular e (d) a velocidade escalar.
Passo 1
Temos um satélite orbitando a Terra em condições normais.
A letra (a) pede o período em função do raio . Essa é uma relação conhecida: a 3ª lei de Kepler!
Isolando o período, encontramos a resposta, pois todos os outros termos da igualdade (menos o raio ) são constantes:
Se usarmos o símbolo para representar “proporcional”, a resposta será:
Onde lemos que o período é proporcional a .
Passo 2
A letra (b) quer a energia cinética em função do raio . Vamos dar uma olhada na fórmula para a energia cinética:
Podemos melhorar isso substituindo com a equação que descreve as órbitas:
Substituindo isso na fórmula da energia cinética:
Seguindo o mesmo padrão de antes:
Passo 3
A letra (c) quer o momento angular em função do raio . Esse é um conceito menos usado na gravitação, então vamos relembrar a fórmula para o momento angular :
Obs.: Essa é a fórmula para o módulo do momento angular no caso de uma órbita circular, pois a velocidade é perpendicular ao vetor posição. (Não é uma fórmula geral)
Essa fórmula ainda não é boa o suficiente, porque não é constante. Mas já vimos no passo anterior que dá pra reescrever ele sem problemas:
Escrevendo da mesma forma que fizemos nas outras:
Passo 4
Pra fechar, queremos relacionar a velocidade escalar ao raio. Mal sabe a questão que já fizemos isso várias vezes rsrs! Repetindo a fórmula:
Ou seja, agora temos:
Resposta
(a) (período)
(b) (energia cinética) .
(c) (momento angular) ..
(d) (velocidade escalar) .