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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.6 - Ex. 43

(a) Que velocidade tangencial um satélite da Terra deve ter para estar em órbita circular 160   k m acima da superfície da Terra? (b) Qual é o período de revolução?

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, no item (a) o enunciado quer saber qual é a velocidade necessária para manter uma certa órbita circular.

Mas calma lá meu patrão, vamos pensar: o que é essencial para manter uma trajetória circular? Uma força centrípeta! Que nós já conhecemos a fórmula:

F C = m v 2 R

E no caso de uma órbita em torno da Terra, de qual tipo de força estamos falando? A força gravitacional que a Terra exerce sobre o satétlite. Que também conhecemos a fórmula:

F g = G M m R 2

Onde M é a massa da Terra e m é a massa do satélite.

Agora é só a gente exigir que F g = F C quando R = 160   km = 160 × 10 3   m (lembre-se sempre de converter para metros!), logo:

G M m R 2 = m v 2 R

Cortanto a massa m e (uma vez) o raio R , de forma que:

v 2 = G M R

Passo 2

Antes de substituir os valores, vamos lembrar que R é a distância até o centro da Terra, então é preciso somar o raio R T da Terra com a distância d = 160   .   10 3 até a superfície. (Essa é uma pegadinha muito comum nas questões de gravitação!). Já que o raio da Terra é conhecido:

R = R T + d

R = 160 × 10 3 + 6,37 × 10 6

R = 0,160 × 10 6 + 6,37 ×   10 6

Logo:

R = 6,53 × 10 6   m

Agora podemos isolar v e substituir os valores. O enunciado nos dá apenas o raio R da órbita, mas a constante G e a massa M da Terra são conhecidos! Portanto:

v =   G M R

v = 6,67 × 10 - 11 6 × 10 24 6,53 × 10 6

v = 7   828   m/s

Ajustando para três algarismos significativos (para seguir o padrão do enunciado):

v = 7,83 × 10 3   m/s

Passo 3

O item (b) quer o período de revolução do satélite, ou seja, ele quer saber quanto tempo esse satélite demora para dar uma volta completa em torno da terra.

Vamos ver a situação:

Como calculamos no item anterior, temos uma óbrita de raio R = 6,53 × 10 6   m , e um satélite se movendo nela com velocidade v = 7,83 × 10 3   m / s , e queremos saber quanto tempo demora para percorrer toda a órbita. Voltamos à física I!

v = ∆ s ∆ t

Passo 4

Para aplicar a fórmula, a única “dificuldade” é ver que o Δ s será o comprimento da circunferência de raio R :

Δ s = 2 π R = 2   3,14 6,53 × 10 6

∆ s ≅ 41 × 10 6

Substituindo na equação:

v = ∆ s ∆ t

7,83 × 10 3 = 41 × 10 6 Δ t

Sendo assim:

Δ t = 41 × 10 6 7,83 × 10 3

∆ t ≅ 5,23 × 10 3   s

Resposta

(a) v = 7,83 × 10 3   m/s

(b) ∆ t ≅ 5,23 × 10 3   s

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