Quais são (a) a velocidade e (b) o período de um satélite de em uma órbita aproximadamente circular acima da superfície da Terra? Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de por revolução orbital. Usando a aproximação razoável de que a órbita do satélite se torna uma “circunferência cujo raio diminui lentamente”, determine (c) a altitude, (d) a velocidade e (e) o período do satélite ao final da revolução número . (f) Qual é o módulo da força retardadora média que atua sobre o satélite? O momento angular em relação à Terra é conservado (g) para o satélite e (h) para o sistema satélite-Terra (supondo que o sistema é isolado)?

A letra (b) quer saber o período do satélite. Vamos ver a fórmula que sabemos para o período de uma órbita: a 3ª lei de Kepler.

Tranquilo, só vamos precisar mesmo do raio da órbita. Pra isso precisamos somar o raio da Terra ao raio que foi dado no enunciado:

Pronto!

As letras (c), (d) e (e) se completa. Depois que acharmos a “altitude” após a perda de energia, podemos seguir o mesmo procedimento das letras (a) e (b) para achar a nova velocidade e o novo período.

Então primeiro vamos lembrar como o raio de órbita se relaciona à energia mecânica. A fórmula para a energia mecânica de uma órbita é:

Vamos calcular logo a energia mecânica inicial do nosso satélite:

O enunciado diz que o satélite perde energia mecânica a uma taxa de por volta. Então pra calcular o total de energia perdida, é só multiplicar essa taxa pelo número de voltas. Depois de voltas a energia vai ser:

Beleza, agora vamos ver qual é o raio de órbita que essa energia permite. Retomando a nossa fórmula de antes:

Lembrando que essa é a distância até o centro da Terra, para achar a “altitude” que a questão pediu temos que subtrair o raio da Terra.

E chegamos à resposta da letra (C).

Agora que temos a “nova” altitude, as letras (d) e (e) são uma repetição das letras (a) e (b). Então vamos usar as mesmas fórmulas.

Primeiro para a velocidade:

Tínhamos encontrado o valor de logo acima, é .

E essa é a resposta da letra (d).

Agora para a letra (e) é só usar de novo a fórmula para o período:

Pronto.

A letra (f) quer saber o módulo da força retardadora média que atua sobre o satélite.

Perceba que alguma coisa realizou trabalho sobre o satélite para fazê-lo perder toda aquela energia. E quem realiza trabalho? Uma força.

Como a questão pede a força restauradora média, podemos usar a definição mais simples de trabalho (:

Temos que achar e para fechar a equação. Começando por .

O enunciado fala em uma perda de energia de por volta, e podemos dizer que na primeira volta o raio era bem próximo do original, ou seja .

Usando a fórmula para o comprimento da circunferência, vamos substituir:

E esse é o módulo da força restauradora.

A letra (g) quer saber se o momento angular (em relação à Terra) do satélite é conservado.

Vamos lembrar que a definição (mais simples) do momento angular é:

Onde é o momento angular, é o momento de inércia, e é o torque.

Como o momento de inércia do satélite não muda, o momento angular só vai ser conservador se não existir torque sobre o satélite.

Mas como nós até já calculamos a força sobre o satélite, o torque existe! Ou seja, o momento angular não é conservado.

A letra (h) já dá a resposta no enunciado. Quer saber se o momento angular do sistema Terra-satélite é conservado, considerando que esse sistema é isolado.

Uma das leis mais importantes da física diz que o momento angular de um sistema isolado é conservado. Assim como o momento linear e tantas outras grandezas. Então dessa vez, a resposta é sim.

Pronto... Agora acabou!