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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas Desafiadores - Ex. 96

Use o método do Problema Desafiador 8.113 para determinar as coordenadas x e y do centro de massa de uma placa metálica semicircular com densidade uniforme   ρ e espessura t. Chame de a o raio da placa. Entāo, a massa da placa é M = 1 2 ρ π a 2 t .   Use o sistema de coordenadas indicado na Figura 8.51.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui juntos?

Vem comigo e vamos passo a passo!!!

Cada pedaço tem espessura y = a 2 - x 2

Também temos que x c m = 1 M ∫ x d m , onde, d m = ρ t y d x = ρ t a 2 - x 2 d x . Então,

x c m = ρ t M ∫ - a a   x a 2 - x 2 d x = 0

Já que o integrando é uma função ímpar de x. x c m = 0 por causa da simetria.

Então, cada pedaço tem comprimento 2 x = 2 a 2 - y 2

Passo 2

Também temos que y c m = 1 M ∫ y d m , onde, d m = 2 ρ t x d y = 2 ρ t a 2 - y 2 d y . Então,

y c m = 2 ρ t M ∫ 0 a   y a 2 - y 2 d y

A integral também poder ser feita usando:

u = a 2 - y 2

d u = - 2 y d y

E então,

y c m = 2 ρ t M - 1 2 ∫ a 2 0   u 1 2 d u = 2 ρ t a 3 3 M = 2 ρ t a 3 3 2 ρ π a 2 t = 4 a 3 π .

Resposta

4 a 3 π

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