A segunda lei de Kepler afirma: a linha que liga o centro do Sol ao centro de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Mostre que esta lei segue diretamente da lei de conservação da quantidade de movimento angular e do fato de que a força de atração gravitacional entre um planeta e o Sol atua ao longo da linha que liga os centros dos dois corpos celestes.

Passo 1

Olha aqui, fiz a representação da órbita do planeta ao redor do Sol.

A área desse pedaço de órbita que o planeta andou pode ser calculado como:

d A = r r d θ 2 = r 2 2 d θ

Derivando d A com relação ao tempo:

d A d t = 1 2 r 2 d θ d t

A variação do ângulo com o tempo é o que chamamos de velocidade angular, ou seja, ω , e então:

d A d t = r 2 ω 2   ( 1 )

Passo 2

Como a força gravitacional atua ao longo da linha que separa os corpos, ela não produz torque. Se não produz torque, não há variação do momento angular.

L = m r 2 ω = c t e   ( 2 )

Juntando as equações ( 1 ) e ( 2 ) :

d A d t = L 2 m = c t e

Como queríamos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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