Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 69
Seja uma corda tensa, com uma massa por unidade de comprimento , transportando pulsos de onda transversais que incidem sobre um ponto onde a corda é conectada a uma outra corda, com uma massa por unidade de comprimento . (a) Mostre que, se , o coeficiente de reflexão é igual a zero e o coeficiente de transmissão é igual a . (b) Mostre que se , e . (c) Mostre que, se , e .
Passo 1
Vamos lembrar das fórmulas para os coeficientes de reflexão e transmissão :
E em ambos os casos, a rapidez da onda na corda é dada por essa fórmula:
Onde é a força de tensão à qual a corda está submetida, e é a densidade linear da corda. Como as cordas estão conectadas, a tensão é a mesma para as duas, e só a densidade linear varia.
Vamos substituir isso nas expressões para os coeficientes, já cortando nos numerador e nos denominadores:
Agora é só analisar o que acontece nos extremos.
Passo 2
(a) Quando , os dois termos que formam uma subtração no numerador de vão se cancelar, e por isso :
E no denominador de , os dois termos ficaram iguais, e seram somados para ficarem iguais ao numerador:
Passo 3
(b) No caso em que , o termo em que aparece no denominador são desprezíveis quando somado/subtraído do outro:
Então:
E para o coeficiente de transmissão, temos que fazer mais uma aproximação:
E como , essa última fração vai se aproximar de zero:
Passo 4
(c) No caso em que , temos simplesmente o inverso da situação anterior:
Então:
E para o coeficiente de transmissão, temos que fazer mais uma aproximação:
Resposta
Demonstração.