Seja ∆ E a diferença de energia entre dois níveis vizinhos de um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional. Seja E a energia de um dos níveis. (a) Mostre que a razão ∆ E / E   tende para 2 / n para grandes valores do número quântico n . Para n → ∞ , (b) ∆ E tende a zero? (c) E tende a zero? (d) ∆ E / E tende a zero? (e) O que significa esses resultados em termos do princípio da correspondência?

Passo 1

A energia para um poço potêncial é dada por:

E n = n 2 h 2 8 m L 2 = n 2 E 1

Onde E 1 é a energia no estado fundamental.

Passo 2

a) A diferença de energia entre o estado n e n + 1 é:

∆ E = E n + 1 - E n = n + 1 2 h 2 8 m l - n ² h 2 8 m l   = n 2 + 2 n + 1 - n 2 E 1

Desta forma ∆ E / E fica:

∆ E E = 2 n + 1 E 1 n 2 E 1 = 2 n + 1 n 2

Quando tendemos n para valores muito grandes ficamos com:

∆ E E = 2 n + 1 n 2 = 2 n

Passo 3

b) Não. Quando n → ∞ , ∆ E = 2 n + 1 E 1 → ∞

Passo 4

c) Não. Quando n → ∞ , E = n 2 E 1   → ∞

Passo 5

d) Sim. Quando n → ∞ , ∆ E E = 2 n   → 0

Passo 6

e) Esses resultados dizem que quando n → ∞ , ∆ E E → 0 , e isso quer dizer que a porcentagem entre a diferença dos níveis de energia se torna cada vez menor, ou seja, os resultados quânticos tendem para os resultados clássicos (princípio da correspondência).

Resposta

b) Não

c) Não

d) Sim

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