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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.Problemas adicionais - Ex. 58

Como sugere a figura 39-8, a densidade de probabilidade na região 0 < x < L do poço de potencial finito da figura 39-7 varia senoidalmente, de acordo com a equação ψ 2 x = B s e n 2 k x , onde B é uma constante. (a) Mostre que a função de onda ψ ( x ) que pode ser calculada a partir dessa equação é uma solução da equação de Schroginger unidimensional. (b) Qual deve ser o valord de k para que a afirmação do item (a) seja verdadeira?

Passo 1

Do enunciado do problema temos a região 0 < x < L do poço de potêncial finito, e nessa região a energia potencial é U ( x ) = 0 .

A equação de Schrodinger para essa região é:

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E ψ = 0

No qual E > 0 .

Passo 2

a) Podemos chamar 8 π 2 m h 2 E = k ² , desta forma temos que a equação de Schrodinger fica:

d 2 ψ d x 2 = - k 2 ψ ( x )

Desta forma podemos somar 8 π 2 m h 2 E ψ em ambos os lados da equação obtendo:

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E ψ = - k 2 ψ ( x ) + 8 π 2 m h 2 E ψ

Onde está é a equação de Schrodinger unidimensional.

Passo 3

b) Como no item (a) definimos que:

k 2 = 8 π 2 m h 2 E

Teremos que k é:

k = ± 2 π h 2 m E

Resposta

b)   k = ± 2 π h 2 m E

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