Enunciado

(a) Seja A → um vetor constante, no plano xy, com sua origem na origem do sistema de coordenadas. Seja r → = x i ^ + y j ^ um vetor do plano xy que satisfaz à relação A → ∙ r → = 1 . Mostre que os pontos com coordenadas (x, y) estão sobre uma linha reta. (b) Se, agora, A → e r → são vetores do espaço tridimensional, mostre que a relação A → ∙ r → = 1 especifica um plano.

Passo 1

Letra (a)

Vamos chamar A → de A → = ( a x , a y ) . Já sabemos que r → = ( x , y ) . Então:

A → ∙ r → = 1 ⇒ a x , a y ∙ ( x , y ) = 1

a x x + a y y = 1

Passo 2

Agora isola o y:

a y y = 1 - a x x

y = - a x a y x + 1 a y

Como a gente vê, x e y se relacionam através da equação da reta (aquela da geometria analítica: y = mx + n).

Passo 3

Letra (b)

Observe a figura acima. O gráfico da esquerda é a reta que a gente obteve no item (a). No item (b), a conta que a gente faz é a mesma e, por causa disso, acaba chegando na mesma equação y = - a x a y x + 1 a y . O que mudou? O que muda agora é que, como estamos em 3 dimensões, a gente poderia esperar que aparecesse a variável z na equação. Essa variável não aparece, e o que isso significa é que qualquer valor de z satisfaz a equação.

E daí? Daí que qualquer gráfico que a gente obtenha só arrastando o gráfico da letra (a) ao longo de z, vai satisfazer. O resultado disso é o plano indicado pelas várias retas na figura da esquerda.

Resposta

Letra (a): ver solução

Letra (b): ver solução

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