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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 76

O sistema da figura 9-57 é largado do repouso quando o bloco de 30 k g está 2,0 m acima da prateleira. A polia é um disco uniforme de 5,0 k g com um raio de 10 c m . Justo antes de o bloco de 30 k g   atingir a prateleira, determine (a) sua rapidez, (b) a rapidez angular da polia e (c) a tensão nos fios. (d) Determine o tempo de queda do bloco de 30 k g . Suponha que o fio não deslize na polia.

Passo 1

Vamos com calma que essa é bem grande. Nesse tipo de questão é bom usar conservação de energia para poder mexer com as velocidades.

  1. Conservando a energia:

    2. M g h = m g h + M v 2 2 + m v 2 2 + 1 2 I ω 2

    30 × 9,81 × 2 = 20 × 9,81 × 2 + 20 v 2 2 + 30 v 2 2 + I ω 2 2

    392,4 = 50 v 2 + I ω 2

    Como a gente sabe, o momento de inércia da polia é I = 1 2 M p R 2 e na rotação, v = ω r .

    50 v 2 + 1 2 M p R 2 v R 2 = 392,4

    50 v 2 + 1 2 × 5 v 2 = 392,4

    v 2 = 784,8 105

    v = 2.73 m s

    Passo 2

  2. Aqui é só relacionar a velocidade escalar e a angular.

    3. v = ω R

    2.73 = ω × 0.1

    ω = 27.3 r a d s

    Passo 3

  3. Agora vamos brincar de dinâmica. Usando a segunda lei de Newton para os blocos:

    4. T 1 - m g = m a → T 1 = 20 ( a + g )

    M g - T 2 = M a → T 2 = 30 ( g - a )

    Como sabemos a velocidade e altura, podemos encontrar a aceleração pela equação de Torricelli!

    v 2 = v 0 2 + 2 a h

    2.73 2 = 2 a × 2

    a = 1.87 m s 2

    Substituindo nas trações:

    T 1 = 20 1.87 + 9.81 → T 1 = 0.230 k N

    T 2 = 30 9.81 - 1.87 → T 2 = 0.240 k N

    Passo 4

  4. Agora, pra achar o tempo, é só a gente analisar o movimento acelerado do bloco.

h = a t 2 2

t = 2 h a

t = 2 × 2 1.87

t = 1.5 s

Resposta

  1. v = 2.73 m s
  2. ω = 27.3 r a d s
  3. T 1 = 0.230 k N , T 2 = 0.240 k N
  4. t = 1.5 s
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