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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 94

Nem todos os dielétricos que separam as placas de um capacitor são rígidos. Por exemplo, a membrana de um nervo axônio é uma bicamada de lipídeos que tem uma compressibilidade finita. Considere um capacitor de placas paralelas cuja separação entre as placas é mantida por um material que tem uma constante dielétrica 3,00 , uma rigidez dielétrico de 40,0   k V / m m e um módulo de Young para tensão compressiva de 5,00 × 10 6   N / m 2 . Quando a diferença de potencial é zero, a espessura do dielétrico é igual a 0,200   m m e capacitância é dada por C 0 . (a) Deriva uma expressão para a capacitância em função da diferença de potencial entre as placas do capacitor. (b) Qual é o valor máximo desta diferença de potencial?

Passo 1

Fala galera, tudo bom?

  1. Consideremos que o dielétrico de espessura d . Quando aplicamos uma voltagem, suponha que ele se contraia por Δ x . Sendo assim, a capacitância será:

    2. C = κ ε 0 A d - Δ x

    Do problema 95, temos que a força entre as placas do capacitor é:

    F = Q 2 2 κ ε 0 A = C 2 V 2 2 κ ε 0 A

    Substituindo o valor de C :

    F = κ ε 0 A V 2 2 d - Δ x 2

    Passo 2

    Agora, pela Lei de Hooke, temos

    Γ = F / A Δ x / x ⟹ Δ x x = F Γ A

    Assim, usando o valor de F :

    Δ x x = κ ε 0 V 2 2 Γ d - Δ x 2

    Tomando Δ x ≪ d , segue que d - Δ x ≈ d e x ≈ d . Logo,

    Δ x = κ ε 0 V 2 2 Γ d

    Assim,

    C = ε 0 κ A d - κ ε 0 V 2 2 Γ d = ε 0 κ A d 1 - κ ε 0 V 2 2 Γ d 2 = C 0 1 + κ ε 0 V 2 2 Γ d 2

    onde, no último passo, usamos a expansão 1 + x n ≈ 1 + n x para x ≪ 1 .

  2. Notemos que

Δ x = κ ε 0 V 2 2 Γ d = 3 8,85 × 10 - 12 8,00 × 10 3 2 2 5,00 × 10 6 0,200 × 10 - 3 = 8,50 × 10 - 7   m

Assim,

V m á x = E m á x d - Δ x = 40,0 × 10 3 0,200 × 10 - 3 - 8,50 × 10 - 7 = 7,97   k V

Ufa.... Essa foi difícil! :D

Resposta

  1. C 0 1 + κ ε 0 V 2 2 Γ d 2
  2. 7,97   k V
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