Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 46
(a) Se tomamos como zero a energia potencial de um corpo de e a Terra, quando os dois corpos estão separadas de uma distancia infinita, qual é a energia potencial quando corpo está na superfície da Terra? (b) Determine a energia potencial do mesmo corpo a uma altura, acima da superfície da Terra, igual ao raio da Terra. (c) Determine a rapidez de escape de um corpo projetado desta altura.
Passo 1
a) Fala! A gente quer a energia potencial de um corpo na superfície da Terra. Aproximando a Terra por uma esfera, e como o enunciado disse que quando a distância entre os corpos tende a inifito, a energia potencial é nula, podemos usar essa expressão:
Sendo a distância entre o centro da Terra e o centro do corpo. a mass do corpo e a massa da Terra. E a constante de gravitação.
Nesse primeiro item, ele nos pede a energia na superfície da terra, então a distância entre o corpo e o centro da Terra é o próprio raio da Terra. Basta então fazermos .
Sendo o raio da Terra. Pra facilitar as coisas, podemos usar que
Aí ficamos com
Temos a massa do corpo pelo enunciado. O raio da Terra a gente encontra no apêndice B e vale . E a gravidade na superfície da Terra é , que equivale a . Substituindo nossos dados:
Passo 2
(b) Para esse item é o mesmo processo. Ele diz que o corpo está a uma altura que é igual ao raio da Terra. Então, a distância dele do centro da Terra é o raio da Terra mais ou raio da Terra, ou seja, basta fazermos .
Pra facilitar as coisas, podemos usar que novamente
Substituindo os valores:
Passo 3
(c) A velocidade de escape é a velocidade que o corpo deve ter para gerar uma energia cinética suficiente para tirá-lo do campo gravitacional onde está.
Basicamente, é a velocidade que produz a energia que leva o corpo para a distância no inifinito.
Pra acharmos a velocidade de escape, vamos conservar energia e impormos que a velocidade no infinito será nula. Já que no infinito o corpo está fora do alcance do campo gravitacional da Terra, uma vez que nele temos
Cuidado: Ele pede a velocidade a partir do e não da superfície!!
No começo, nosso corpo está perto da Terra. Então ele tem a energia potencial gravitacional e a energia cinética que vai tirar ele do campo . Já no fim, o corpo está no infinito, então ele tem e a energia cinética também vai ser nula porque a velocidade dele lá é nula.
Temos então que a conservação de energia fica
Passo 4
A energia cinética é dada por
E vimos a expressão para em no item anterior. Logo temos a conservação
Logo,
Vamos lembrar que . Assim
Substituindo os dados e fazendo as contas: