Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 75
Três frequências de ressonância sucessivas de um tubo de órgão são e . (a) O tubo está fechado em uma das pontas ou aberto nas duas pontas? (b) Qual é a frequência fundamental? (c) Qual é o comprimento efetivo do tubo?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Para responder o item (a), vamos avaliar as duas condições, de o tubo estar fechado em uma das pontas ou aberto nas duas pontas. A ideia é avaliar a relação entre essas frequências sucessivas, que são frequências de harmônicos com sucessivos.
Para o tubo aberto nas duas pontas, temos que a diferença entre frequências de harmônicos com consecutivos é igual a frequência fundamental, ou seja, a gente pode escrever:
Onde é a frequência fundamental. E uma frequência de harmônico é um múltiplo de
Vamos calcular a diferença entre as frequências de dois harmônicos consecutivos que ele dá:
Então a frequência fundamental é
Daí a gente pode tentar descobrir o valor de para a frequência :
Isto indica que o tubo não está aberto nas duas pontas, mas sim fechado em uma extremidade.
Passo 2
Item (b): Queremos a real . Temos então um tubo fechado em uma das extremidades. Nesse tipo de tubo não temos os pares, ou seja, temos apenas que
Ou seja, o harmônico vai ser consecutivo de . Continua valendo que:
Só que agora, a diferença entre duas frequências com harmônicos consecutivos vai ser diferente. Por exemplo, vamos fazer a diferença entre e .
Sabemos que , então :
Essa relação vale para todos as outras frequências de ressonância. Então vamos descobrir a frequência fundamental a partir dela.
Passo 3
Vamos expressar a condição de frequência para um tubo aberto nas duas pontas:
Isolar quem a gente quer
Pegar duas frequências consecutivas do enunciado para fazer essa diferença :
Prontinho!
Passo 4
c) Usando a condição padrão da onda para o tubo aberto em uma extremidade, temos:
Queremos , o comprimento do tubo. Para , temos:
Não temos o comprimento da onda . Mas sabemos que:
Subsituindo na nossa expressão do comprimento:
Sabendo que é a velocidade do som, então . E é a frequência fundamental, substituimos os valores que temos para encontrar: