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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 17cd

Três vetores, a → , b → e c → , têm o mesmo módulo, 50   m , e estão em um plano x y . Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo x positivo são 30 ° , 195 ° , e 315 ° , respectivamente. Determine (c) o módulo e (d) o ângulo de a → - b → + c → . Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de um quarto vetor, d → , tal que a → + b → - c → + d → = 0 .

Passo 1

Como esta é uma questão de soma de vetores, vamos iniciar decompondo os três vetores dados em componentes, de forma que:

A x = A → × cos ⁡ θ

A y = A → × sin ⁡ θ

Desde que este θ seja o ângulo dos vetores em relação ao semieixo x positivo, que é o caso deste problema.

Após escrever os vetores em função das componentes vamos fazer a soma vetorial:

a → + b → + c → = r → = a x + b x + c x i ^ + a y + b y + c y j ^

Em seguida, com o vetor resultante escrito em função das componentes, vamos aplicar a definição de módulo de vetor:

r → = r x 2 + r y 2

E, por fim, usaremos novamente a definição de componentes definida no início deste passo para determinar o ângulo que r → faz com o semieixo x positivo.

Passo 2

Escrevendo o a → em função das componentes:

a x = a cos ⁡ θ a

a y = a sin ⁡ θ a

Substituindo os valores dados no enunciado:

a x = 50 cos ⁡ 30 ° = 43,30   m

a y = 50 sin ⁡ 30 ° = 25,00   m

Escrevendo o b → em função das componentes:

b x = b cos ⁡ θ b

b y = b sin ⁡ θ b

Substituindo os valores dados no enunciado:

b x = 50 cos ⁡ 195 ° = - 48,30   m

b y = 50 sin ⁡ 195 ° = - 12,94   m

Escrevendo o c → em função das componentes:

c x = 50 cos ⁡ 315 ° = 35,36   m

c y = 50 sin ⁡ 315 ° = - 35,36   m

Passo 3

Com os caores das componentes dos vetores já calculados podemos fazer o somatório vetorial definido no passo 1 , logo:

r → = a → - b → + c → = 43,30 - - 48,30 + 35,36 i ^ + 25,00 - - 12,94 + - 35,36 j ^

r → = 126,96 i ^ + 2,58 j ^

Passo 4

Agora, aplicando a definição de módulo de vetor, também anunciado no passo 1 :

r → = 126,96 2 + 2,58 2

r = 126,99   m

Passo 5

Usando a definição de componente de vetor apresentado no passo 1 :

r x = r cos ⁡ θ

Isolando o cos ⁡ θ e substituindo os valores:

cos ⁡ θ = 126,96 126,99

Isolando θ :

θ = 1,25 °   o u   181,25 °

No caso de que a componente r y < 0 , então o ângulo de nosso vetor é:

θ = 181,25 °

Resposta

  1. r = 126,99   m ;
  2. θ = 181,25 ° .
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